1、2021年安徽省宣城市高三高考数学第二次调研试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1若z为纯虚数，且满足（z+m）i2i（mR），则m（）A2B1C1D22已知集合Ax|x2x60，Bx|log2（x1）2，则（RA）B（）A（2，3）B（1，3）C3，5）D（2，1）3函数yxcosx部分图象大致为（）ABCD4设，是两个不同平面，直线m，直线n，则下列结论正确的是（）Am是mn的充分条件Bmn是的必要条件Cm是mn的必要条件Dmn是的必要条件5采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，
2、是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用如图为国家统计局所做的我国2019年12月及2020年112月份的采购经理指数（PMI）的折线图，若PMI指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的（）A2020年1至12月的PMI指数的最大值出现在2020年3月份B2020年1至12月的PMI指数的中位数为51.0%C2020年1至3月的PMI指数的平均数为49.9%D2020年1月至3月的月PMI指数相对10月至12月，波动性更大6设mlog45，nlog3，则（）Am+n0mnBmn0m+nCm+nmn0Dmnm+n07已知抛物线y24x的焦点F
3、，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MNl于点N，直线NF交y轴于点D，则|MD|（）A4BC2D8围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（假设没有平局），比赛结束假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）ABCD9已知函数g（x）cos2xcosx，将g（x）的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象给出下列命题：f（x）的一条对称轴为x；f（x）
4、在上是单调递增函数；f（x）的一个对称中心为；f（x）的最大值为1以上命题中，正确的个数为（）A0B1C2D310已知随机变量X服从二项分布B（m，），其期望E（X）1，当x，y满足约束条件时，目标函数z2x+y的最小值为t，（tx+m）5的展开式中各项系数之和为（）A25B25C45D6511设F是双曲线1（ba0）的一个焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P，Q两点若，则双曲线的离心率为（）ABC2D512已知关于x的方程m（x2+）+14m（x+）有三个不同的根，分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3（）A3B5C3mD5m二、填空题：本题共4小题，每小题5分，
5、共20分13已知三个单位向量，满足+，则|2| 14曲线ya2lnx在点（1，a）处的切线与曲线yex相切，则a 15如图，在四边形ABCD中，AB4，AC7，cosBAC，B+D若AC是DAB的角平分线，则DC的长为 16已知A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥ABCD的四个顶点在体积为36的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为4和2，则AB，CD的伴随球的表面积的取值范围是 三、解答题本大题共5小题，满分60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题
6、为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17已知Sn为数列an的前n项和，数列Sn是等差数列，且S49，S817（1）求数列an的通项公式；（2）若bnSn（an）n，求数列bn的前n项和Tn18如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC1，BCCC12，D，E，F，G分别是棱AB，BC，B1C1，BB1的中点（1）求证：平面CDG平面A1DE；（2）求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值19已知椭圆M：1（ab0）的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为，其中4|FA|FB|CD|2（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q是椭圆M上异于
7、A，B的任意一点，过点Q且与椭圆M相切的直线与xa，xa分别交于S，T两点，以ST为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由20某市为了解游客对某景区的满意程度，市文旅委随机对景区的1000名游客进行问卷调查（满分100分），这1000名游客的评分分别落在区间40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100内，游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示，视频率为概率（1）求频率分布直方图中a的值，规定评分不低于80分为非常满意，6080分为基本满意，低于60分为不满意，记游客非常满意的概率为p市文旅委对部分游客进行了
8、继续去旅游的意愿调查，若“不再去旅游”记1分，“继续去旅游”记2分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为p，且这次调查得分恰为n分的概率为Bn，求B4；（2）用分层抽样的方法，从这1000名游客中抽取5人，组成咨询小组若从该小组中抽取2人进行咨询记2人中非常满意人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）21已知函数f（x）x2mxmlnx，其中m0（）若m1，求函数f（x）的极值；（）设g（x）f（x）+mx若g（x）在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系x
9、Oy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线l的直角坐标方程为x+y40（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的极坐标方程；（2）射线（0），（0）和曲线C分别交于A、B两点，与直线l分别交于D，C两点，求四边形ABCD的面积选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|x+1|x2|t1|+t有解（1）求实数t的取值范围；（2）若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且a+b+cm求证：a2+b2+c2参考答案一、选择题（每小题5分）.1若z为纯虚数，且满足（z+m）i2i（mR），则m（）A2B1C1D2解：（z+m）i2i（mR），zm1m2i，z
10、为纯虚数，1m0m1，故选：C2已知集合Ax|x2x60，Bx|log2（x1）2，则（RA）B（）A（2，3）B（1，3）C3，5）D（2，1）解：x2x60，2x3，A（2，3），RA（，23，+），log2（x1）2，1x5，B（1，5），（RA）B3，5），故选：C3函数yxcosx部分图象大致为（）ABCD解：函数yxcosx是奇函数，排除选项B，A，yxcosx0xk+或x0，kZ，当x时，y0，对应点在第一象限，排除C，故选：D4设，是两个不同平面，直线m，直线n，则下列结论正确的是（）Am是mn的充分条件Bmn是的必要条件Cm是mn的必要条件Dmn是的必要条件解：m，n，mn，
11、故是充分条件，故A正确，由，得mn或异面，故不是必要条件，故B错误，由mn推不出m，也可能m与平行，故不是必要条件，故C错误，由推不出mn，也可能平行，不是必要条件，故D错误，故选：A5采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用如图为国家统计局所做的我国2019年12月及2020年112月份的采购经理指数（PMI）的折线图，若PMI指数为50%，则说明与上月比较无变化，根据此图，下列结论正确的（）A2020年1至12月
12、的PMI指数的最大值出现在2020年3月份B2020年1至12月的PMI指数的中位数为51.0%C2020年1至3月的PMI指数的平均数为49.9%D2020年1月至3月的月PMI指数相对10月至12月，波动性更大解：根据折线图可得，2020年112月的PMI指数的最大值出现在2020年11月，故A错误；根据中位数的定义，将2020年112月的PMI指数按从小到大的顺序排列后，可知排在第五和第六位的两个数据的平均数即为中位数，即可得中位数为%，故B错误；根据平均数的定义，可求得2020年13月的PMI指数的平均数为%，故C错误；根据图中折线可得，2020年1月至3月的PMI指数相对10月至12
13、月，波动性更大，故D正确故选：D6设mlog45，nlog3，则（）Am+n0mnBmn0m+nCm+nmn0Dmnm+n0解：nlog3log350，mn0，即1，m+n0，m+nmn故选：D7已知抛物线y24x的焦点F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MNl于点N，直线NF交y轴于点D，则|MD|（）A4BC2D解：由题意，可知：F（1，0）直线lFM：y（x1）联立，整理，得3x210x+30解得x，或x3当x时，y；当x3时，y2点M坐标为（3，2）准线l：x1点N坐标为（1，2）直线FN斜率kNFlFN：y（x1），点D坐标为（0，）|MD|2故选：B8
14、围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军（假设没有平局），比赛结束假设每局比赛乙胜甲的概率都为，且各局比赛的胜负互不影响，则在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为（）ABCD解：在不超过4局的比赛中甲获得冠军包含两种情况：甲前三局全胜，概率为P1（）3；前三局甲两胜一负，第四局甲胜，概率为P2在不超过4局的比赛中甲获得冠军的概率为：PP1+P2故选：A9已知函数g（x）cos2xcosx，将g（x）的图象向左平移个单位得到函数f（x）的
15、图象给出下列命题：f（x）的一条对称轴为x；f（x）在上是单调递增函数；f（x）的一个对称中心为；f（x）的最大值为1以上命题中，正确的个数为（）A0B1C2D3解：将g（x）的图象向左平移个单位得f（x）g（x+）cos2（x+）cos（x+）cos2x+sinx2sin2x+sinx1（sinx+）2，对于，因为f（0）1，f（）2，所以x不是f（x）的对称轴，所以错；对于，因为x（，），所以sinx在上是单调递减函数，sinx，由复合函数单调性知f（x）在上是单调递减函数，所以错；对于，因为f（2x）（sin（2x）+）2（sinx+）2f（x），所以f（x）关于对称，所以对；对于，因为
16、f（）2，所以错故选：B10已知随机变量X服从二项分布B（m，），其期望E（X）1，当x，y满足约束条件时，目标函数z2x+y的最小值为t，（tx+m）5的展开式中各项系数之和为（）A25B25C45D65解：由约束条件作出可行域如图，联立，可得A（1，2），由z2x+y，得y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时，直线y2x+y在y轴上的截距最小，z有最小值为4，即t4随机变量X服从二项分布B（m，），其期望E（X）1，即m2（tx+m）5（24x）5，取x1，可得（tx+m）5的展开式中各项系数之和为25故选：A11设F是双曲线1（ba0）的一个焦点，过F作双曲线的一条渐近线的垂线，与
17、两条渐近线分别交于P，Q两点若，则双曲线的离心率为（）ABC2D5解：不妨设F（c，0），过F作双曲线一条渐近线的垂线方程为y（x+c），与yx联立可得x；与y联立可得x，2（+c），整理得，c22b22a2，即c24a2，e1，e2故选：C12已知关于x的方程m（x2+）+14m（x+）有三个不同的根，分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3（）A3B5C3mD5m解：令tx+，t（，22，+），如图示：令f（x）m（x2+）+14m（x+）m2m4mt+1，即mt24mt2m+10，要使f（x）有不同的零点，则mt24mt2m+10有2个不同的根，则t12，t22或t22，或t12，t2
18、2或t22，故当x0时，tmin2，当t0时，tmax2，故关于t的方程的其中1个根必须为2或2，此时直线t2或直线t2时刚好与函数tx+相切，当m0时，不合题意，故m（t2）26t+10得（t2）26，若60，则该方程无解，不合题意，由（t2）26，得：t12，t22+，当t12，此时t22，不合题意，当t12，此时t26，解得：m，由tx+，当x+t1，解得：x11，当x+t2，整理得x26x+10，故x2+x36，故x1+x2+x35，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知三个单位向量，满足+，则|2|解：三个单位向量，满足+，+，（+）2（）2，即：+2+1+2
19、+11，|2|244+44（）+17，|2|，故答案为：14曲线ya2lnx在点（1，a）处的切线与曲线yex相切，则a2ln24解：对ya2lnx求导，得y，y|x12，则曲线ya2lnx在点（1，a）处的切线方程为ya2（x1），即y2x+a+2设y2x+a+2与yex相切于点（x0，），对yex求导，得yex，由2，得x0ln2，即切点为（ln2，2）又切点在切线y2x+a+2上，2ln2+a+22，即a2ln24故答案为：2ln2415如图，在四边形ABCD中，AB4，AC7，cosBAC，B+D若AC是DAB的角平分线，则DC的长为5解：ABC中，AB4，AC7，cosBAC，由余弦
20、定理得BC2AC2+AB22ACABcosBAC72+4227425，所以BC5，又sinBAC，由正弦定理得，所以sinB，又B+D，sinDsinB，ACD中，sinDACsinBAC，由正弦定理得，所以DC5，即DC的长为5故答案为：516已知A，B，C，D为球面上四点，M，N分别是AB，CD的中点，以MN为直径的球称为AB，CD的“伴随球”，若三棱锥ABCD的四个顶点在体积为36的球面上，它的两条边AB，CD的长度分别为4和2，则AB，CD的伴随球的表面积的取值范围是，解：由题意可知，球的半径为R3，分别取球O的两条弦AB，CD的中点M，N，则OM，ON，即弦AB，CD分别是以O为球心
21、，半径为1和2的球的切线，且弦CD在以O为球心，半径为1的球的外部，MN的最大距离为2+13，最小距离为211当M，O，N三点共线时，分别取最大值3与最小值1故半径分别为，当半径为时，AB，CD的伴随球的体积为，当半径为时，AB，CD的伴随球的体积为AB，CD的伴随球的体积的取值范围是，故答案为：，三、解答题本大题共5小题，满分60分.解答应写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17已知Sn为数列an的前n项和，数列Sn是等差数列，且S49，S817（1）求数列an的通项公式；（2）若b
22、nSn（an）n，求数列bn的前n项和Tn解：（1）由Sn为数列an的前n项和，数列Sn是等差数列，设首项为S1，公差为t，因为S49，S817所以，解得，故Sn3+2（n1）2n+1，当n1时，a1S13，当n2时，anSnSn12，所以（2）由（1）得，所以2+120+321+522+723+（2n+1）2n设，得，整理得，故18如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AC1，BCCC12，D，E，F，G分别是棱AB，BC，B1C1，BB1的中点（1）求证：平面CDG平面A1DE；（2）求平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值【解答】（1）证明：以C为坐标原点，分别以CA
23、，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则C（0，0，0），D（，1，0），G（0，2，1），A1（1，0，2），B（0，2，0），E（0，1，0），F（0，1，2），（，1，0），（0，2，1），设平面CDG的一个法向量为，由，取y1，得；设平面A1DE的一个法向量为，由，取z11，得，平面CDG平面A1DE；（2）解：由（1）可得，平面A1DE的一个法向量为得，设平面A1BF的一个法向量为，由，取y21，得cos，平面A1BF与平面A1DE所成的锐二面角的余弦值为19已知椭圆M：1（ab0）的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为，其
24、中4|FA|FB|CD|2（1）求椭圆的标准方程；（2）设Q是椭圆M上异于A，B的任意一点，过点Q且与椭圆M相切的直线与xa，xa分别交于S，T两点，以ST为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）由条件可得4（a+c）（ac）（2b）2所以b23，又，所以a2a23，解得a24，所以椭圆的方程为+1（2）设Q（x0，y0），（x02），所以+1，对椭圆1（ab0）求导得，+0，所以k切，所以切线方程为yy0（xx0），将代入上式，得切线方程+1，分别联立x2，x2，得S（2，），T（2，），所以以ST为直径的圆，圆心为（0，），半径r，所以|ST|24r2
25、（2+2）2+（）216+，因为+1，所以x024（1），所以4r216+4+，所以圆的方程为x2+（y）21+，令x21，得（y）2，得x1时，y0，所以ST为直径的圆是否过定点（1，0）20某市为了解游客对某景区的满意程度，市文旅委随机对景区的1000名游客进行问卷调查（满分100分），这1000名游客的评分分别落在区间40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100内，游客之间的评分情况相互独立，得到统计结果如频率分布直方图所示，视频率为概率（1）求频率分布直方图中a的值，规定评分不低于80分为非常满意，6080分为基本满意，低于60分为不满意，记游客非
26、常满意的概率为p市文旅委对部分游客进行了继续去旅游的意愿调查，若“不再去旅游”记1分，“继续去旅游”记2分，假设每位游客有继续旅游意愿的概率均为p，且这次调查得分恰为n分的概率为Bn，求B4；（2）用分层抽样的方法，从这1000名游客中抽取5人，组成咨询小组若从该小组中抽取2人进行咨询记2人中非常满意人数为X，求X的分布列和数学期望E（X）解：（1）由频率分布直方图可得，（0.004+a+0.0222+0.028+0.018）101，解得a0.006，游客满意的概率p（0.022+.018）100.4，由题意可知调查的人数为2人或3人或4人，若调查的人数为2人，则B4p20.16，若调查的人数
27、为3人，则B4p（1p）230.40.620.432，若调查的人数为4人，则B4（1p）40.640.1296（2）由（1）可得非常满意有50.42人，故X的所有可能取值为0，1，2，P（X0），P（X1），P（X2），所以X的分布列为：X012P 数学期望E（X）0+1+221已知函数f（x）x2mxmlnx，其中m0（）若m1，求函数f（x）的极值；（）设g（x）f（x）+mx若g（x）在（1，+）上恒成立，求实数m的取值范围解：（）当m1时，f（x）x2xlnx，x（0，+），f（x）2x1，当x（0，1）时，f（x）0，函数f（x）单调递减；当x（1，+）时，f（x）0，函数f（x）单
28、调递增，函数f（x）的极小值为f（1）0，无极大值；（）g（x）x2mlnx，若g（x）在（1，+）上恒成立，即x2mlnx0在（1，+）上恒成立，构造函数G（x）x2mlnx，x1，则G（x）2x+，令H（x）2x3mx+1，x1，H（x）6x2m，（i）若m6，可知H（x）0恒成立，H（x）在（1，+）上单调递增，H（x）H（1）3m，当3m0，即0m3时，H（x）0在（1，+）上恒成立，即G（x）0在（1，+）上恒成立，G（x）G（1）0在（1，+）上恒成立，0m3满足条件，当3m0，即3m6时，H（1）3m0，H（2）172m0，存在唯一的x0（1，2），使得H（x0）0，当x（1，x
29、0）时，H（x）0，即G（x）0，G（x）在（1，x0）上单调递减，G（x）G（1）0，这与G（x）0矛盾，（ii）若m6，由H（x）0，可得（舍去），易知H（x）在（1，）上单调递减，H（x）H（1）3m0在（1，）上恒成立，即G（x）0在（1，）上恒成立，G（x）在（1，）上单调递减，G（x）G（1）0在（1，）上恒成立，这与G（x）0矛盾，综上所求，实数m的取值范围为：（0，3（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建
30、立极坐标系，曲线l的直角坐标方程为x+y40（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的极坐标方程；（2）射线（0），（0）和曲线C分别交于A、B两点，与直线l分别交于D，C两点，求四边形ABCD的面积解：（1）曲线C的参数方程为（为参数）转换为直角坐标方程为（x1）2+y21，根据，转换为极坐标方程为2cos曲线l的直角坐标方程为x+y40，根据，整理得，（2）射线（0），（0）和曲线C分别交于A、B两点，所以，直线l与直线l分别交于D，C两点，所以，所以，设四边形ABCD的面积为S，则选修4-5：不等式选讲23已知关于x的不等式|x+1|x2|t1|+t有解（1）求实数t的取值范围；（2）若a，b
31、，c均为正数，m为t的最大值，且a+b+cm求证：a2+b2+c2解：（1）f（x）|x+1|x2|，当x2时，f（x）的最大值为3，关于x的不等式|x+1|x2|t1|+t有解等价于f（x）max3|t1|+t，当t1时，上述不等式转化为3t1+t，解得1t2，当t1时，上述不等式转化为3t+1+t，解得t1，综上所述t的取值范围为t2，故实数t的取值范围（，2证明：（2）根据（1）可得a，b，c均为正实数，且满足a+b+c2，3（a2+b2+c2）a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（a+b+2）24，当且仅当abc时，取等号，所以a2+b2+c2