1、第四章 三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制、任意角的三角函数1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念2.能进行弧度与角度的互化3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.突破点一角的概念1角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的分类角的分类3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)第二象限角大于第一象限角()(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角()(3)终边在yx上的角构成的集合可表示为k，kZ.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1与角
2、2 020的终边相同，且在0360内的角是_解析：因为2 0202205360，所以在0360内终边与2 020的终边相同的角是220.答案：2202已知角和的终边关于直线yx对称，且，则sin _.解析：因为角与的终边关于直线yx对称所以2k(kZ)，则2k，kZ.所以sin sin .答案：3已知是第二象限角，则180是第_象限角解析：由是第二象限角可得，90k360180k360，kZ，所以180(180k360)180180(90k360)，即k36018090k360(kZ)所以180为第一象限角答案：一象限角及终边相同的角(1)要使角与角的终边相同，应使角为角与的偶数倍(不是整数倍
3、)的和(2)注意锐角(集合为|090)与第一象限角(集合为|k36090k360，kZ)的区别，锐角是第一象限角，仅是第一象限角中的一部分，但第一象限角不一定是锐角1(2019长春普通高中一模)若角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线yx上，则角的取值集合是()A.B.C.D.解析：选D因为直线yx的倾斜角是，所以终边落在直线yx上的角的取值集合为.故选D.2在7200范围内所有与45终边相同的角为_解析：所有与45终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ)，解得k(kZ)，从而k2或k1，代入得675或315.答
4、案：675或3153若角是第二象限角，则是第_象限角解析：是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角答案：一或三1象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角(2)转化法：先将已知角化为k360(00，则在第一象限内()(3)0，则sin ”、“”或“”)(1)sin _cos ；(2)sin _cos ；(3)sin _tan .答案：(1)(2)考法一三角函数值的符号判断例1(1)若sin tan 0，且baBbcaCabc Dcab解析(1)由sin tan 0可知sin
5、 ，tan 异号，则为第二象限角或第三象限角由sin 33a，ctan 35sin 35b，cba.故选A.答案(1)C(2)A方法技巧1三角函数值符号及角的位置判断已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况2三角函数值的符号规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦考法二三角函数的定义例2(1)(2018榆林第一次测试)已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若角的终边经过点P，则cos tan 的值是()A B.C D.(2)如图，在平面直角
6、坐标系xOy中，角的终边与单位圆交于点A，cos ，则点A的坐标为_解析(1)因为角的终边经过点P，所以cos ，tan ，所以cos tan .(2)cos ，sin ，A.答案(1)A(2)方法技巧三角函数定义应用策略(1)已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解(2)已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解(3)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(4)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐
7、标考法三三角函数线的应用例3函数ylg(34sin2x)的定义域为_解析 34sin2x0，sin2x，sin x0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A的终边在第一、二象限能推出sin 0，sin 0成立能推出的终边在第一、二象限或y轴的正半轴上，故“的终边在第一、二象限”是“sin 0”的充分不必要条件故选A.2.已知角(00，cos 1500，角终边上一点的坐标为，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin ，又0cos x成立的x的取值范围为_解析：如图所示，找出在(0,2)内，使sin xcos x的x值，sincos，sincos.根
8、据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x.答案： 课时跟踪检测 A级基础题基稳才能楼高12弧度的角所在的象限是()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选B2，2弧度的角在第二象限2点P(cos 2 019，sin 2 019)所在的象限是()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：选C2 0195360219，即角2 019与角219的终边相同，21918039，所以角219在第三象限，即角2 019也在第三象限所以cos 2 0190，sin 2 019sin ，则()A Bcos Dtan tan 解析：选D因为，是第一象限角，所以sin 0，sin 0，又sin
9、 sin ，所以sin2sin20，所以1cos21cos2，所以cos20，所以tan2tan2，因为tan 0，tan 0，所以tan tan .故选D.5(2019洛阳阶段性测试)在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P(3,4)，则sin()A BC. D.解析：选C角的终边经过点P(3,4)，sin ，cos .sinsinsincos .故选C.6(2018莆田二十四中月考)一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角的弧度数是()A1 B2C3 D4解析：选C设扇形的圆心角的弧度数为，半径为R.由题意得解得3，即扇形的圆心角的弧度
10、数是3.故选C.7终边在坐标轴上的角的集合是()A|k360，kZB|k180，kZC|k90，kZD|k18090，kZ解析：选C令k4m，k4m1，k4m2，k4m3，k，mZ.分别代入选项C进行检验：(1)若k4m，则4m90m360；(2)若k4m1，则(4m1)90m36090；(3)若k4m2，则(4m2)90m360180；(4)若k4m3，则(4m3)90m360270.综上可得，终边在坐标轴上的角的集合是|k90，kZ8若角的终边与角的终边关于直线yx对称，且(4，4)，则_.解析：如图所示，设角的终边为OA，OA关于直线yx对称的射线为OB，则以OB为终边且在02范围内的角
11、为，故以OB为终边的角的集合为.(4，4)，42k4，k0时，r5a，sin cos .当a0，则实数a的取值范围是_解析：cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上20时，r5a，sin ，cos ，tan ；当a0时，r5a，sin ，cos ，tan .综上可知，sin ，cos ，tan 或sin ，cos ，tan .12.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动(1)若点B的横坐标为，求tan 的值；(2)若AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合；(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式解：(1)由题意可得B，根据三角函数的定义得tan .(2)若AOB为等边三角形，则B，可得tanAOB，故AOB；故与角终边相同的角的集合为|2k，kZ.(3)若，则S扇形OABr2，而SAOB11sin sin ，故弓形AB的面积SS扇形OABSAOBsin ，.
