1、1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理学习目标1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题知识点一正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等即：2R.(R为ABC外接圆的半径)知识点二正弦定理的变形公式(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.(2)sin A，sin B，sin C(其中R是ABC外接圆的半径)知识点三解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形1正弦定理对任意的三角形都成立()2在ABC中，等式bsin Ccs
2、in B总能成立()3在ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.()4任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素()题型一已知两角及一边解三角形例1在ABC中，已知A30，B60，a10，解三角形解根据正弦定理，得b10.又C180(3060)90.c20.反思感悟(1)正弦定理实际上是三个等式：，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个(2)因为三角形的内角和为180，所以已知两角一定可以求出第三个角跟踪训练1在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B45，C60，c1，则ABC最短边的边长等于()A. B. C. D.答案A解析由三角形内角和定理，得
3、A180(BC)75，所以B是最小角，b为最短边由正弦定理，得，即，则b，故选A.题型二已知两边及其中一边的对角解三角形例2在ABC中，已知c，A45，a2，解三角形解，sin C，ca，C(0，180)，C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b1.b1，B75，C60或b1，B15，C120.引申探究若把本例中的条件“A45”改为“C45”，则角A有几个值？解，sin A.c2a，CA.A为小于45的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个反思感悟这一类型题目的解题步骤为用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；用三角形内角和定理求出第三个角；根据正弦定理求出第三条边其中进
4、行时要注意讨论该角是否可能有两个值跟踪训练2在ABC中，若a，b2，A30，则C .答案105或15解析由正弦定理，得sin B.B(0，180)，B45或135，C1804530105或C1801353015.题型三正弦定理的证明例3ABC的外接圆O的半径为R，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：2R.证明若A为直角(如图1所示)，在RtBAC中，可直接得a2Rsin A；在锐角ABC中，如图2，连接BO并延长，交外接圆于点A，连接AC，则圆周角AA.AB为直径，长度为2R，ACB90，sin A，sin A，a2Rsin A.若A为钝角(如图3所示)，作直径BA，连接AC，则AA，
5、在RtBCA中，BCABsin A2Rsin(A)2Rsin A，即a2Rsin A.由得a2Rsin A，即2R，同理可证，2R，2R.所以2R.反思感悟引入三角形的外接圆半径，可以加深理解正弦定理的几何意义，更加方便实现三角形中的边角互化三角形形状的判断典例在ABC中，已知，且sin2Asin2Bsin2C.求证：ABC为等腰直角三角形证明，又，a2b2即ab，设k(k0)，则sin A，sin B，sin C，又sin2Asin2Bsin2C，即a2b2c2，ABC为等腰直角三角形素养评析(1)正弦定理是以比例的形式给出来的，所以在应用时要注意结合比例的基本性质(2)正弦定理可以实现边角
6、互化(3)判断和证明要掌握推理的基本形式和规则，形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质，突出体现逻辑推理的数学核心素养.1. 在ABC中，一定成立的等式是()Aasin Absin B Bacos Abcos BCasin Bbsin A Dacos Bbcos A答案C解析由正弦定理，得asin Bbsin A，故选C.2在ABC中，若sin Asin C，则ABC是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案B解析由sin Asin C及正弦定理，知ac，ABC为等腰三角形3在ABC中，已知a8，B60，C75，则b等于()A4 B4C4 D4答案C解析易知A45，由得b4.
7、4在ABC中，若a，b，B，则A .答案或解析由正弦定理，得sin A，又A(0，)，ab，AB，A或.5在ABC中，已知a，sin C2sin A，则c .答案2解析由正弦定理，得c2a2.1. 正弦定理的表示形式：2R，或a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(其中R为ABC外接圆的半径)2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一
8、边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论.一、选择题1在ABC中，a5，b3，则sin Asin B的值是()A. B. C. D.答案A解析根据正弦定理，得.2在ABC中，若A105，B45，b2，则c等于()A1 B2 C. D.答案B解析A105，B45，C30.由正弦定理，得c2.3在ABC中，absin A，则ABC一定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形答案B解析由题意可知b，则sin B1，又B(0，)，故B为直角，ABC是直角三角形4在ABC中，若，则C的值
9、为()A30 B45 C60 D90答案B解析由正弦定理知，cos Csin C，tan C1，又C(0，180)，C45.5在ABC中，若sin Asin B，则A与B的大小关系为()AAB BAsin B，2Rsin A2Rsin B(R为ABC外接圆的半径)，即ab，故AB.6在ABC中，已知A，a，b1，则c的值为()A1 B2 C.1 D.答案B解析由正弦定理，可得，sin B，由ab，得AB，B，B.故C，由勾股定理得c2.7在ABC中，a15，b10，A60，则cos B等于()A B. C D.答案D解析由正弦定理，得，sin B.ab，AB，又A60，B为锐角cos B .8
10、(2018北京高二检测)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，则cos C等于()A. B.C. D.答案A解析因为在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b5c，C2B，所以8sin B5sin C5sin 2B10sin Bcos B，所以cos B，又B为三角形内角，所以sin B.所以sin Csin 2B2.又cos Bcos 45，所以B45，C2Bbcsin B，即2b，故答案为(，2)三、解答题12已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c10，A45，C30，求a，b和B.解，a10.B180(AC)180(4
11、530)105.又，b20sin 75205()13在ABC中，acosbcos，试判断ABC的形状解方法一acosbcos，asin Absin B.由正弦定理，可得ab，a2b2，ab，ABC为等腰三角形方法二acosbcos，asin Absin B.由正弦定理，可得2Rsin2A2Rsin2B，又A，B(0，)，sin Asin B，AB(AB不合题意，舍去)故ABC为等腰三角形14ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b .答案解析在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，又a1，由正弦定理得b.15在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A ，a .答案2解析由tan A2，得sin A2cos A，由sin2Acos2A1及0A，得sin A，b5，B，由正弦定理，得a2.