1、导数与函数零点的综合问题核心考点精准研析考点一判断函数零点(方程根)的个数1.已知函数f(x)=3ln x-x2+2x-3ln 3-,则方程f(x)=0的解的个数为.2.(2019武汉模拟)已知函数f(x)=ex-ax-1(aR)(e=2.718 28是自然对数的底数).世纪金榜导学号(1)求f(x)的单调区间.(2)讨论g(x)=f(x)在区间0,1上零点的个数.【解题导思】序号联想解题1由方程f(x)=0的解想到函数f(x)的零点序号题目拆解2(1)f(x)的单调区间求f(x)并分析其正负确定单调区间(2)g(x)在区间0,1上零点的个数讨论f(x)在0,1上的单调性,判断f(x)的零点个
2、数,最后确定g(x)零点的个数.【解析】1.因为f(x)=3ln x-x2+2x-3ln 3-(x0),所以f(x)=-x+2=,当x(0,3)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(3,+)时,f(x)0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-,+),无单调递减区间;当a0时,令f(x)0,得x0,得xln a,所以f(x)的单调递减区间为(-,ln a),单调递增区间为(ln a,+).(2)令g(x)=0,得f(x)=0或x=,先考虑f(x)在区间0,1上的零点个数,当a1时,f(x)在0,1上单调递增且f(0)=0,所以f(x)在0,1上有一个零点;当ae时,f(x)在0,1上单调递减
3、且f(0)=0,所以f(x)在0,1上有一个零点;当1ae时,f(x)在0,ln a)上单调递减,在(ln a,1上单调递增,而f(1)=e-a-1,当e-a-10,即1ae-1时,f(x)在0,1上有两个零点,当e-a-10,即e-1ae-1或a=2(-1)时,g(x)在0,1上有两个零点;当10),令g(x)=0,得m=-x3+x(x0).设(x)=-x3+x(x0),则(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1),当x(0,1)时,(x)0,(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,+)时,(x)时,函数g(x)无零点;当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)无零点;当
4、m=或m0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0m时,函数g(x)有两个零点.考点二已知函数零点个数求参数问题【典例】已知曲线f(x)=ex(ax+1)在x=1处的切线方程为y=bx-e.世纪金榜导学号(1)求a,b.(2)若函数g(x)=f(x)-3ex-m有两个零点,求实数m的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)曲线f(x)=ex(ax+1)在x=1处的切线方程为y=bx-e.求导数,根据导数的几何意义,求出切线的斜率,解方程组,即可求出a和b的值(2)函数g(x)有两个零点求导数,利用导数确定函数的单调性,求出函数的极值,结合函数的零点与方程实数根的关系,数形结合,即可求出实数m的值
5、.【解析】(1)f(x)=ex(ax+1),f(x)=ex(ax+1)+exa=ex(ax+1+a),所以所以a=1,b=3e.(2)方法一:g(x)=f(x)-3ex-m=ex(x-2)-m,函数g(x)=ex(x-2)-m有两个零点,相当于曲线u(x)=ex(x-2)与直线y=m有两个交点.u(x)=ex(x-2)+ex=ex(x-1),当x(-,1)时,u(x)0,所以u(x)在(1,+)上单调递增,所以x=1时,u(x)取得极小值u(1)=-e,又x+时,u(x)+;x2时,u(x)0,所以-em0.方法二:g(x)=f(x)-3ex-m=ex(x-2)-m,g(x)=ex(x-2)+
6、ex=ex(x-1),当x(-,1)时,g(x)0,所以g(x)在(1,+)上单调递增,所以x=1时,g(x)取得极小值g(1)=-e-m,又x-时,g(x)-m,所以-em0.已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法:首先分离出参数,然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值,根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分类讨论法:结合单调性,先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.(2018全国卷II)已知函数f(x)=ex-ax2.(1)若a=1,证明:当x0时,f(x)1.(2)
7、若f(x)在(0,+)只有一个零点,求a.【解析】(1)当a=1时,f(x)1等价于(x2+1)e-x-10.设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.当x1时,g(x)0,h(x)没有零点;(ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.当x(0,2)时,h(x)0.所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.故h(2)=1-是h(x)在(0,+)上的最小值.若h(2)0,即a,h(x)在(0,+)上没有零点;若h(2)=0,即a=,h(x)在(0,+)上只有一个零点;若h(2),由于h(0)=1,所以h(x)在(
8、0,2)上有一个零点,由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)=1-=1-1-=1-0.故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+)有两个零点.综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a=.考点三可转化为函数零点个数的问题【典例】已知直线l:y=x+1,函数f(x)=aex.世纪金榜导学号(1)当a=1,x0时,证明:曲线y=f(x)-x2在直线l的上方.(2)若直线l与曲线y=f(x)有两个不同的交点,求实数a的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)曲线y=f(x)-x2在直线l的上方证明曲线y=f(x)-x2在直线l的上方,转化为ex-x2-x-10恒成立.再利用
9、导数判断函数单调性,从而求出最小值.(2)直线l与曲线y=f(x)有两个不同的交点令S(x)=aex-x-1,直线l与曲线f(x)有两个不同的交点,既要判断S(x)在极值点两侧的单调性,又要判断极值点两侧的函数值的正负,即运用零点存在性定理,说明在极值点两侧零点各有一个.【解析】 (1)令J(x)=ex-x2-x-1,则J(x)=ex-x-1,令g(x)=J(x),则g(x)=ex-1,当x0时,g(x)0,所以在(0,+)上, J(x)为增函数,所以J(x)J(0)=0,从而J(x)也为增函数,得J(x)J(0)=0.故ex-x2x+1,即曲线y=f(x)-x2在直线l的上方.(2)令S(x
10、)=aex-x-1,则S(x)=aex-1,当a0时,S(x)0时,令S(x)=0,得x=ln ,所以S(x)在上为减函数,在上为增函数, 由已知函数S(x)有两个零点,所以S(x)min=S=-ln 0,得0a0,所以S(x)在上有且只有一个零点.由(1)得当x0时,S(x)a-x-1=ax2+(a-1)x+a-1,所以Sa+(a-1)+a-1=a+10.由(1)知,当x0时,J(x)0得 exx+1,令x+1=t,则ln t1),所以-1ln ,所以S(x)在上有且只有一个零点,综上,0a1.处理函数y=f(x)与y=g(x)图像的交点问题的常用方法(1)数形结合,即分别作出两函数的图像,
11、观察交点情况;(2)将函数交点问题转化为方程f(x)=g(x)根的个数问题,通过构造函数y=f(x)-g(x),利用导数研究函数的单调性及极值,并作出草图,根据草图确定根的情况.已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a.(2)证明:当k0,当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x),h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+)没有实根.综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.
