1、课时跟踪检测（五十四） 直线与圆、圆与圆的位置关系一、题点全面练1圆x2y22x4y0与直线2txy22t0(tR)的位置关系为()A相离B相切C相交D以上都有可能解析：选C直线2txy22t0恒过点(1，2)，12(2)2214(2)50，点(1，2)在圆x2y22x4y0内部，直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交2(2018河南八市质检)过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50B.2xy70Cx2y50Dx2y70解析：选B由题意，过点(3,1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r25，圆的方程
2、为(x1)2y25，则过点(3,1)的切线方程为(x1)(31)y(10)5，即2xy70.3(2019六安模拟)已知过原点的直线l与圆C：x2y26x50相交于不同的两点A，B，且线段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为()A2B.3C4D5解析：选A将圆C：x2y26x50，整理，得其标准方程为(x3)2y24，圆C的圆心坐标为(3,0)，半径为2.线段AB的中点坐标为D(2，)，|CD|，|AB|22.故选A.4已知圆O1的方程为x2(y1)26，圆O2的圆心坐标为(2,1)若两圆相交于A，B两点，且|AB|4，则圆O2的方程为()A(x2)2(y1)26B(x2)2(y1)222C(x
3、2)2(y1)26或(x2)2(y1)222D(x2)2(y1)236或(x2)2(y1)232解析：选C设圆O2的方程为(x2)2(y1)2r2(r0)因为圆O1的方程为x2(y1)26，所以直线AB的方程为4x4yr2100.圆心O1到直线AB的距离d，由d2226，得2，所以r2148，r26或22.故圆O2的方程为(x2)2(y1)26或(x2)2(y1)222.5(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B.4,8C，3D2，3解析：选A设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20的距
4、离为d，则圆心C(2,0)，r，所以圆心C到直线xy20的距离为2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知条件可得|AB|2，所以ABP面积的最大值为|AB|dmax6，ABP面积的最小值为|AB|dmin2.综上，ABP面积的取值范围是2,66若直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短，则直线l的方程是_解析：依题意，直线l：ykx1过定点P(0,1)圆C：x2y22x30化为标准方程为(x1)2y24.故圆心为C(1,0)，半径为r2.则易知定点P(0,1)在圆内由圆的性质可知当PCl时，直线l：ykx1被圆C：x2y22x30截得的弦最短因为kPC1，所以直线l的斜率k1，
5、即直线l的方程是xy10.答案：xy107已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：yx1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_解析：由题意，设所求的直线方程为xym0，圆心坐标为(a,0)(a0)，则由题意知22(a1)2，解得a3或1(舍去)，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以30m0，解得m3，故所求的直线方程为xy30.答案：xy308已知直线xya0与圆C：x2y22x4y40相交于A，B两点，且ACBC，则实数a的值为_解析：由x2y22x4y40得(x1)2(y2)29，所以圆C的圆心坐标为C(1,2)，半径为3，
6、由ACBC，可知ABC是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C到直线xya0的距离为，由点到直线的距离公式可得，解得a0或a6.答案：0或69已知圆C经过点A(2，1)，与直线xy1相切，且圆心在直线y2x上(1)求圆C的方程；(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程解：(1)设圆心的坐标为C(a，2a)，则.化简，得a22a10，解得a1.C(1，2)，半径r|AC|.圆C的方程为(x1)2(y2)22.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx，由题意得1，解得k，直线
7、l的方程为yx，即3x4y0.综上所述，直线l的方程为x0或3x4y0.10已知以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若|OM|ON|，求圆C的方程解：(1)证明：由题意知圆C过原点O，半径r|OC|.|OC|2t2，设圆C的方程为(xt)22t2.令y0，得x10，x22t，则A(2t,0)令x0，得y10，y2，则B.SOAB|OA|OB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)|OM|ON|，|CM|CN|，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC，直线OC的方程为yx.t，解得t2或t2
8、.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，r|OC|，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4相交于两点当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，r|OC|，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4不相交圆C的方程为(x2)2(y1)25.二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1设圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A4B.4C8D8解析：选C因为圆C1，C2和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|，解得a52或a52，可取C1(52，52)，C2(52，52)，故|C1C2|8，
9、故选C.2已知圆C：(x)2(y1)21和两点A(t,0)，B(t,0)(t0)，若圆C上存在点P，使得APB90，则实数t的最小值为()A4B.3C2D1解析：选D由APB90得，点P在圆x2y2t2上，因此由两圆有交点得|t1|OC|t1|t1|2t11t3，即t的最小值为1.3已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为()Ax2y21B.x2y24Cx2y2Dx2y21或x2y237解析：选D如图所示，A(2,3)，B(2，1)，C(6，1)过A，C的直线方程为，化为一般式为x2y40.点O到直线x2y
10、40的距离d1，又|OA|，|OB|，|OC|.以原点为圆心的圆若与ABC有唯一的公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，圆的半径分别为1或，则圆的方程为x2y21或x2y237.4过点A(3,5)作圆C：x2y22x4y10的切线，则切线的方程为_解析：圆C的标准方程为(x1)2(y2)24，其圆心为(1,2)，|CA|2，点A(3,5)在圆外显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x30，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y5k(x3)，即kxy53k0.又圆心为(1,2)，半径r2，而圆心到切线的距离d2，即|32k|2，k，故所求切线方程为5x12y450或x30.答案
11、：5x12y450或x305已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l：xy60，A为直线l上一点，若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，则点A的横坐标的取值范围为_解析：由题意知，过点A的两直线与圆M相切时，夹角最大，当BAC60时，|MA|4.设A(x，6x)，所以(x1)2(6x1)216，解得x1或x5，因此点A的横坐标的取值范围为1,5答案：1,5(二)难点专练适情自主选6已知圆H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，且截x轴所得线段的长为2.(1)求圆H的方程；(2)若存在过点P(a,0)的直线与圆H相交于M，N两点，且|PM|MN|，求实数a的取值范围解：(1)设圆H的方
12、程为(xm)2(yn)2r2(r0)，因为圆H被直线xy10，xy30分成面积相等的四部分，所以圆心H(m，n)一定是两互相垂直的直线xy10，xy30的交点，易得交点坐标为(2,1)，所以m2，n1.又圆H截x轴所得线段的长为2，所以r212n22.所以圆H的方程为(x2)2(y1)22.(2)设N(x0，y0)，由题意易知点M是PN的中点，所以M.因为M，N两点均在圆H上，所以(x02)2(y01)22，222，即(x0a4)2(y02)28，设圆I：(xa4)2(y2)28，由知圆H与圆I有公共点，从而2|HI|2，即3，整理可得2a24a518，解得2a1或3a2，所以实数a的取值范围
13、是2，13,27已知圆C经过点A，B，直线x0平分圆C，直线l与圆C相切，与圆C1：x2y21相交于P，Q两点，且满足OPOQ.(1)求圆C的方程；(2)求直线l的方程解：(1)依题意知圆心C在y轴上，可设圆心C的坐标为(0，b)，圆C的方程为x2(yb)2r2(r0)因为圆C经过A，B两点，所以2222，即bb2bb2，解得b4.则r222，所以圆C的方程为x2(y4)2.(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，Q或P，Q，则0，所以OPOQ，满足题意当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l的方程为ykxm(k0，m0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线l的方程与圆C1的方程联立，得消去y，整理得(1k2)x22kmxm210，则4k2m24(1k2)(m21)4(k2m21)0，即1k2m2，则x1x2，x1x2，所以y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2，又OPOQ，所以0，即x1x2y1y20，故2m21k2，满足0，符合题意因为直线l：ykxm与圆C：x2(y4)2相切，所以圆心C(0,4)到直线l的距离d，即m28m16，故m28m16m2，得m2，故1k28，得k.故直线l的方程为yx2.综上，直线l的方程为x或yx2.
