1、核心素养测评十九 定积分与微积分基本定理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(x+ex)的值为()A.eB.e+C.e-D.e+1【解析】选C.(x+ex)dx=+e-1=e-.【变式备选】e|x|dx的值为()A.2B.2eC.2e-2D.2e+2【解析】选C.e|x|dx=e-xdx+exdx=-e-x+ex=-e0-(-e)+(e-e0)=-1+e+e-1=2e-2.2.已知f(x)=x3-x+sin x,则f(x)dx的值为()A.等于0 B.大于0C.小于0 D.不确定【解析】选A.由题意得,函数f(x)=x3-x+sin x是奇函数,所以f(x)dx=0.【变式
2、备选】已知f(x)为偶函数且f(x)dx=8,则f(x)dx等于()A.0B.4C.8D.16【解析】选D.f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx,因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图像关于y轴对称,故f(x)dx=2f(x)dx=28=16.3.设f(x)=则f(x)dx等于()A.B.C.D.不存在【解析】选C.f(x)dx=x2dx+(2-x)dx=+=+=.4.函数y=x2-1的图像如图所示,则阴影部分的面积是()A.(x2-1)dxB.(x2-1)dxC.|x2-1|dxD.(x2-1)dx+(1-x2)dx【解析】选C.所求面积为(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|
3、dx.5.如图四边形OABC是边长为2的正方形,曲线段DE所在的曲线方程为xy=1,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.根据条件可知,E,阴影部分的面积为dx=(2x-ln x)=3-2ln 2,所以豆子落在阴影部分的概率为.6.(2020渭南模拟)一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为 ()A.JB.JC.JD.2J【解析】选C.变力F在位移方向上的分力为Fcos 30,故F(x)做的功为W=(5-x2)cos 30dx=(5-x2)
4、dx=(J).7.已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1=(x0),y2=x,y3=x,则阴影部分的面积为 ()A.1+ln 2B.ln 2C.1D.2【解析】选B.由得x=1;由得x=2.阴影部分的面积S=dx+dx=dx+dx-dx=+ln x-=ln 2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.计算:dx=_.【解析】根据定积分的几何意义,可知dx表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的(如图中阴影部分).故dx=.答案:9.已知m=(cos x-x+3sin2x)dx,则的展开式中,常数项为_.【解析】m=(cos x-x+3sin 2x)dx=2,所以=,所以Tr+1=x6-r=,由
5、6-r=0得r=4,因此常数项为=.答案:10.射线y=4x(x0)与曲线y=x3所围成的图形的面积为_.【解析】将射线方程与曲线方程联立,解得:,即射线y=4x(x0)与曲线y=x3有两个公共点,所围成的图形的面积为(4x-x3)dx=4.答案:4【变式备选】记曲线y=与直线x=2,y=0所围成封闭图形的面积为S,则S=_.【解析】S=dx=.答案:(15分钟35分)1.(5分)(2020黄冈模拟)已知函数f(x)=sin(x-),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=【解析】选A.函数f(x)的对称轴为x-=+k1x=+k1,因为sin(
6、x-)dx=0-cos+cos =0sin=0,所以-=k2=-k2,即对称轴x=+k1=-k2+k1(k1,k2Z),则x=是其中一条对称轴.【变式备选】(2019日照模拟)在函数y=cos x,x的图像上有一点P(t,cos t),若该函数的图像与x轴、直线x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图像大致是()【解析】选B.因为S=g(t)=cos xdx=sin t+1,所以图像是B.2.(5分)一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为_J.【解析】由题意知,力F(x)所做的功为W=F(x
7、)dx=5dx+(3x+4)dx=52+=10+=36(J).答案:363.(5分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,bR)的图像如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为,则a的值为_.【解析】f(x)=-3x2+2ax+b,因为f(0)=0,所以b=0,所以f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a0).S阴影=-(-x3+ax2)dx=a4=,所以a=-1.答案:-14.(10分)已知曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内的交点为P.(1)求P处与曲线C2相切的直线方程.(2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部
8、分)的面积S.【解析】(1)曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内交点为P(2,2).C2:y=x2的导数y=x, y|x=2=2,而切点的坐标为(2,2),所以曲线C2:y=x2在P处的切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.(2)由曲线C1:y2=2x与C2:y=x2可得两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2),所以两条曲线所围图形的面积S=dx=.【变式备选】求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积.【解析】如图所示,解方程组得两交点的坐标分别为(2,-2),(8,4).方法一:选取横坐标x为积分变量,则图中阴影部分的面积S可看作部分面积之和,即S=
9、2dx+(-x+4)dx=18.方法二:选取纵坐标y为积分变量,则图中阴影部分的面积S=dy=18.5.(10分)(1)求函数f(x)=的图像与x轴所围成的封闭图形的面积.(2)求曲线y=x2,y=x及y=2x所围成的平面图形的面积.【解析】(1)(x+2)dx+2cos xdx=+2sin x=0-+2=4.(2)曲线y=x2,y=x及y=2x所围成的平面图形的面积如图所示:由,得A(1,1),又由,得B(2,4),所以S阴影=(2x-x)dx+(2x-x2)dx=x2+=.所求平面图形面积为.(2020皖南八校联考)用mina,b表示a,b两个数中的最小值,设f(x)=min,则由函数f(x)的图像,x轴与直线x=和直线x=2所围成的封闭图形的面积为_.【解析】由题意,围成的封闭图形如图中阴影部分,由题意,S=dx+dx=+ln x=+ln 2=+ln 2.答案:+ln 2
