1、理科数学试题卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合 AxNx2，Byy1x2，则 AB 的子集个数为 A2 B4 C8 D162复数 z1ii 在复平面内对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3郑州市某一景区为了了解游客人
2、数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2016年 1 月至 2018 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是 A月接待游客逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7，8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4定义在 R 上的函数 f（x）1()3x m2 为偶函数，af（21log 2），bf（131()2），cf（m），则 Acab Bacb Cabc Dbac5“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样为了测算某火纹纹样（
3、如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 2 000 个点，己知恰有 800 个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A165 B185C10 D 3256已知向量 a 与 b 夹角为 3，且a1，2ab 3，则bA 3 B2C1 D327宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a，b 分别为 3，1，则输出的 n 等于A5 B4 C3 D28函数f（x）2121xxcosx的图象大致是9第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举
4、行，某项目比赛期间需要安排 3 名志愿者完成 5 项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A60 B90 C120 D15010已知抛物线 y22x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M，N 两点，若 PFuuur3 MFuuur，则MN A163 B 83 C2 D 8 3311已知三棱锥 PABC 内接于球 O，PA平面 ABC，ABC 为等边三角形，且边长为3，球 O 的表面积为 16，则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的正弦值为 A 157 B 155 C 152 D 151012f（x）221(1)1xxxx
5、，1，l og，g（x）54x3154x2m2，若 yf（g（x）m 有 9 个零点，则 m 的取值范围是 A（0，1）B（0，3）C（1，53）D（53，3）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 曲 线y xxe 2x2 1在 点（0，1）处 的 切 线 方 程 为_14若nS 是等差数列na 的前 n 项和，若 a10，a23a1，则105SS_15已知双曲线 C：22221xyab（a0，b0）的右顶点为 A，以 A 为圆心，b 为半径做圆，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线相交于 M，N 两点，若OMuuur 32 ONuuur（O 为坐标原点），则双曲线
6、C 的离心率为_16已知数列na 满足：对任意 nN*均有1na pna 2p2（p 为常数，p0 且 p1），若 a2，a3，a4，a518，6，2，6，11，30，则 a1 的所有可能取值的集合是_三、解答题：共 70 分解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）已知ABC 外接圆半径为 R，其内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c，设 2R（sin2Asin2B）（ac）sinC （）求角 B；（）若 b12，c8，求 sinA 的值18（12 分）已知三
7、棱锥 MABC 中，MAMBMCAC22，ABBC2，O 为 AC 的中点，点 N 在棱 BC 上，且 BNuuur 23 BCuuur （）证明：BO平面 AMC；（）求二面角 NAMC 的正弦值19（12 分）已知椭圆 E：22221yxab（ab0）的离心率为22，且过点 C（1，0）（）求椭圆 E 的方程；（）若过点（13，0）的任意直线与椭圆 E 相交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，求证：恒有AB2CM20（12 分）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深入贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过 A 系统处理，处理后的污水（A级
8、水）达到环保标准（简称达标）的概率为 p（0p1）经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行 B 系统处理后直接排放 某厂现有 4 个标准水量的 A 级水池，分别取样、检测多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三：三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验 化验次数的期望值越小，则方案越“优”（）若 p 2 23，求
9、 2 个 A 级水样本混合化验结果不达标的概率；（）（）若 p 2 23，现有 4 个 A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优”?（）若“方案三”比“方案四”更“优”，求 p 的取值范围21（12 分）已知函数 f（x）xlnxxex （）求 f（x）的最大值；（）若 f（x）（x 1x）xe bx1 恒成立，求实数 b 的取值范围（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题做答如果多做则按所做的第一题记分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 E 经过点 P（1，32），其参数方程为cos3sinxay，（为参数）
10、，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求曲线 E 的极坐标方程；（）若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OAOB，求证：21OA21OB为定值，并求出这个定值23选修 45 不等式选讲（10 分）已知函数 f（x）x12x1m （）求不等式 f（x）m 的解集；（）若恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 f（n）0，求 m 的取值范围数学（理科）参考答案一、选择题1-12 BDACB CBCDB DA二、填空题13.10;xy 14.4;15.;530 16.66,2,0三、解答题17.解析：（I）222(sinsin)()sin.RABacC2222(sinsin)(
11、)sin2,RRABacCRNOACBM即：222.acbac3 分2221cos.22acbBac因为0,B所以3B6 分（II）若12,8bc，由正弦定理，sinsinbcBC,3sin3C,由bc，故C为锐角，6cos.3C 9 分36133 23sinsin()sin().323236ABCC12 分18.解析：（I）如图所示：连接OM，在 ABC中：2,2 2ABBCAC，则90,2ABCBO，OBAC.2 分在 MAC中：22MAMCAC，O 为 AC 的中点，则OMAC，且6.OM 4 分在 MOB中：2,6,2 2BOOMMB，满足：222BOOMMB根据勾股定理逆定理得到OB
12、OM,AC OM 相交于O ，故OB 平面 AMC.6 分（）因为,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示因为22M AM BM CAC,2ABBC则(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,6)ABCM8 分由23BNBC所以，2 2 2(,0)33N设平面 MAN 的法向量为(,)mx y z，则2 5 225 2(,0)(,)0,3333(0,2,6)(,)260AN nx y zxyAM nx y zyz 令3y，得(5 3,3,1)m 10 分因为 BO 平面 AMC，所以(2,0,0)OB 为平面 AMC 的法向量，所以(5 3,3,1)m 与(2,
13、0,0)OB 所成角的余弦为5 65 3cos,79 279m OB所以二面角的正弦值为25 322 79|sin,|1()797979m OB.12 分19（I）由题意知1b，22ca.1 分又因为222abc解得，2a.3 分所以椭圆方程为2212yx.4 分（）设过点1(,0)3直线为13xty，设 11,A x y，22,B x y由221312xtyxy得229 1812160ttyy，且.则12212212,9 18616,9 18yy ytytt 分又因为111,CAxy，221,CBxy，212121212121244416(1)(1)13339CA CBxxy ytytyy
14、yty yt yy 22216412161091839189ttttt，10 分所以 C AC B.因为线段 AB 的中点为M，所以|2|ABCM.12 分20.解析：（I）该混合样本达标的概率是22 28()39，2 分所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199.4 分（II）（i）方案一：逐个检测，检测次数为 4.方案二：由（1）知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为 1，概率为 89；若不达标则检测次数为 3，概率为 19.故方案二的检测次数记为 2，2 的可能取值为 2,4,6.其分布列如下，2246p64811681181可求得方案二的期望为26416119822()2468
15、18181819E 方案四：混在一起检测，记检测次数为 4，4 可取 1,5.其分布列如下，415p64811781可求得方案四的期望为46417149()15818181E .比较可得42()()4EE，故选择方案四最“优”9 分（ii）方案三：设化验次数为3，3 可取 2,5.325p3p31p3333()25(1)53Eppp；方案四：设化验次数为4，4 可取1,5415p4p41p4444()5(1)54Eppp；由题意得34343()()53544EEppp.故当304p时，方案三比方案四更“优”12 分21 解析：（I）()lnxef xxxx，定义域(0,)，221(1)(1)(
16、)()1xxexxxefxxxx，由1xexx，()f x 在(0,1增，在(1,)减，max()(1)1f xfe4 分（II）1()()e1xf xxbxxeelne1xxxxxxbxxx lne10 xxxxbx eln1xxxxbx mineln1(),xxxxbx 6 分令eln1()xxxxxx，2ln()xx exxx令2()lnxh xx ex，()h x 在(0,)单调递增，0,()xh x ，(1)0he()h x 在(0,1)存在零点0 x，即02000()ln0 xh xx ex0001ln2000000ln1ln0(ln)()xxxxx exx eexx 9 分由于x
17、yxe在(0,)单调递增，故0001lnln,xxx 即001xex()x在0(0,)x减，在0(,)x 增，000000min00eln111()2xxxxxxxxx 所以2b.12 分22.解析：（I）将点3(1,)2P代入曲线 E 的方程，得1cos,33sin,2a解得24a，2 分所以曲线 E 的普通方程为22143xy,极坐标方程为22211(cossin)143.5 分（）不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2AB，则22221122222211(cossin)1,4311(cos()sin()1,4232即22212222111cossin,43111sincos,438 分2212111174312,即22117|12OAOB10 分23.解：（I）由 f xm，得，不等式两边同时平方，得221)(21)xx(，3 分即3(2)0 x x，解得 20 x.所以不等式 f xm的解集为|20 xx 5 分（）设 g（x）|x1|2x1|，8 分 0()f ng nm 因为(2)(0)0gg，(3)1,(4)2,(1)3.ggg 又恰好存在 4 个不同的整数 n，使得 0f n，所以 21.m 故 m 的取值范围为1,2).10 分12,21()3,1,22,1,xxg xxxxx