1、第四节函数yAsin(x)的图象及应用一、基础知识批注理解深一点1函数yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2用五点法画yAsin(x)(A0，0)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)(A0，0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x02xyAsin(x)00A03由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法 (1)两种变换的区别先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|个单位长度；先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(0)个单位长度(2)变换的注意点无论哪种变换，每一个变换总是针对自
2、变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“x”的变化二、基础小题强化功底牢一点(1)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()(2)函数ysin的图象是由ysin的图象向右平移个单位得到的()(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致()(4)函数yAsin(x)的最小正周期为T.()(5)把函数ysin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为ysinx.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(二)选一选1为了得到函数ysin(x1)的图象，只需把函数ysin x的图象上所
3、有的点()A向左平移1个单位长度B向右平移1个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度解析：选A因为由ysin x到ysin(x1)，只是横坐标由x变为x1，所以要得到函数ysin(x1)的图象，只需把函数ysin x的图象上所有的点向左平移1个单位长度2函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2，B2，C2， D2，解析：选A由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin的振幅为2，频率为，初相为.3函数ycos x|tan x|的图象为()解析：选C由题意知y结合图象知选C.(三)填一填4用五点法作函数ysin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.答案：5
4、若函数f(x)sin(x)的部分图象如图所示，则_.解析：由图象可知，函数的周期为44，所以，将代入ysin，得2k，kZ，即2k，kZ，又|，.答案： 考点一求函数yAsin(x)的解析式典例(1)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，0)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin(2)(2019皖南八校联考)已知函数f(x)sin(x)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)_.解析(1)由题图可知A2，T24，故4，解得.所以f(x)2sin.把点代入可得2sin2，即s
5、in1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ)又00，0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A，B.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有以下2种代入法把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口题组训练1.函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f的值为()ABC D1解析：选D由图象可得A，最小正周期T4，则2.由fsin，|0，0，|)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为()Af(x)2sin Bf(x)2sinCf(x)2sin
6、 Df(x)2sin解析：选D由图象可得，A2，T26(2)16，所以.所以f(x)2sin.由函数的对称性得f(2)2，即f(2)2sin2，即sin1，所以2k(kZ)，解得2k(kZ)因为|0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是()AB.C1 D.解析：选D由题意可知该函数的周期为，2，f(x)tan 2x.ftan .3(2018天津高考)将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减解析：选A将函数ysin的图象向右平移个单位长度后的解析式为ysinsin 2x，则函数ysin 2
7、x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确4.(2019贵阳检测)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则的值为()A B.C D.解析：选B由题意，得，所以T，由T，得2，由图可知A1，所以f(x)sin(2x)又因为fsin0，0)的部分图象如图所示，给出以下结论：f(x)的最小正周期为2；f(x)图象的一条对称轴为直线x；f(x)在，kZ上是减函数；f(x)的最大值为A.则正确结论的个数为()A1 B2C3 D4解析：选B由题图可知，函数f(x)的最小正周期T22，故正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线xk(kZ)，故直
8、线x不是函数f(x)图象的对称轴，故不正确；由图可知，当kTxkT(kZ)，即2kx2k(kZ)时，f(x)是减函数，故正确；若A0，则最大值是A，若A0，则最大值是A，故不正确综上知正确结论的个数为2.6(2018山西大同质量检测)将函数f(x)tan(010)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则()A9 B6C4 D8解析：选B函数f(x)tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为ytantan，平移后的图象与函数f(x)的图象重合，k，kZ，解得6k，kZ.又00，0,0)的部分图象如图所示，则f(x)_.解析：由图象可知A2，T，T，2，当x时，函数f
9、(x)取得最大值，22k(kZ)，2k(kZ)，00)向左平移半个周期得g(x)的图象，若g(x)在0，上的值域为，则的取值范围是_解析：由题意，得g(x)sinsinsin，由x0，得x.因为g(x)在0，上的值域为，所以，解得.故的取值范围是.答案：10某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个三角函数模型来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为_解析：设yAsin(x)B(A0，0)，由题意得A1，B6，T4，因为T，所以，所以ysin6.因为当x1时，y6，所以si
10、n0，故2k，kZ，可取，所以ysin6cosx6.答案：ycosx611设函数f(x)cos(x)的最小正周期为，且f.(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在0，上的图象解：(1)因为T，所以2，又因为fcoscossin 且0，所以.(2)由(1)知f(x)cos.列表：2x0x0f(x)1010描点，连线，可得函数f(x)在0，上的图象如图所示12(2019湖北八校联考)函数f(x)sin(x)在它的某一个周期内的单调递减区间是.将yf(x)的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)(1)求g(x)的解
11、析式；(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)，T，2，又sin1，|0)的图象向右平移个单位长度得到函数yg(x)的图象，并且函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为()A. B.C2 D.解析：选C因为将函数f(x)sin x(0)的图象向右平移个单位长度得到函数yg(x)的图象，所以g(x)sin，又因为函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以gsin1且，所以所以2.3.(2018南昌模拟)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；(2)若方程f(x)2cosa有实数解，求a的取值范围解：(1)由图可得A2，所以T，所以2.当x时，f(x)2，可得2sin2，因为|，所以.所以函数f(x)的解析式为f(x)2sin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，所以函数f(x)图象的对称中心为(kZ)(2)设g(x)f(x)2cos，则g(x)2sin2cos2sin2，令tsin，t1,1，记h(t)4t22t242，因为t1,1，所以h(t)，即g(x)，故a.故a的取值范围为.