1、A级基础巩固1.若平面,的一个法向量分别为a=12,-1,3,b=(-1,2,-6),则 ()A.B.与相交但不垂直C.D.或与重合解析:因为b=-2a,所以或与重合.答案:D2.已知直线l1,l2的方向向量分别为a,b,且a=(+1,0,2),b=(6,2-1,2),若l1l2,则与的值可以分别为()A.2,12B.-13,12C.-3,2 D.2,2解析:由题意可知,当=0时,不满足要求,故+16=22,2-1=0,解得=2,=12或=-3,=12.答案:A3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为A1B,AC的中点,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交
2、B.平行C.垂直D.不能确定解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(2,2,2),A1(2,2,0),C(0,0,2),B(2,0,2).因为M,N分别为A1B,AC的中点,所以M(2,1,1),N(1,1,2),所以MN=(-1,0,1).易知平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0),因为-10+01+10=0,即MNn=0,所以MNn.又因为MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.故选B.答案:B4.若平面的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面的一个法向量为u2=(6,-2,z),且,则y+z=-3.解析:因为,所以u1u2,所以-36=y-2=2z,所以y=1,z=-4
3、.所以y+z=-3.5.如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,Q,R分别是棱O1B1,AE的中点.求证:PQRS. 证明:如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0).易求得P3,0,43,Q(0,2,2),R(3,2,0),S0,4,23,所以PQ=-3,2,23,RS=-3,2,23.所以PQ=RS,所以PQRS.因为RPQ,所以PQRS.6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长
4、为2,E,F分别是BB1,DD1的中点.求证:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F.证明:如图所示,建立空间直角坐标系,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以FC1=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).(1)设平面ADE的法向量是n1=(x1,y1,z1),则n1DA,n1AE,即2x1=0,2y1+z1=0,所以x1=0,z1=-2y1,取z1=2,则x1=0,y1=-1,所以n1=(0,-1,2)是平面ADE的一个法向量.因为FC1n1=-2+2=0,所以FC1n1.
5、又因为FC1平面ADE,所以FC1平面ADE.(2)易知C1B1=(2,0,0).设平面B1C1F的法向量是n2=(x2,y2,z2),则n2FC1,n2C1B1,即2y2+z2=0,2x2=0,所以x2=0,z2=-2y2.取z2=2,则x2=0,y2=-1,所以n2=(0,-1,2)是平面B1C1F的一个法向量.因为n1=n2,所以平面ADE平面B1C1F. B级拓展提高7.若a=x,2y-1,-14是平面的一个法向量,且b=(-1,2,1),c=3,12,-2都与平面平行,则a等于()A.-2752,-5326,-14B.-952,-5326,-14C.-952,-2752,-14D.-
6、952,2752,-14解析:由题意,知ab=0,ac=0,即-x+4y-94=0,3x+y=0,解得x=-952,y=2752.所以a=-952,2752,-14.答案:D8.已知直线l平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),若A,B,C三点的坐标分别为(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),则实数m的值为-3.解析:因为l平面ABC,所以存在实数x,y,使a=xAB+yAC.由题意知AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),所以(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),所以2=x,m=y,1=-x-y,解得x=2,y=-3,m=
7、-3.9.已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=k,k+3,32,若ab,则k=-2.解析:当k=0或k=-3时,易知a与b不平行;当k0,且k-3时,由ab,得4k=kk+3=k-132,解得k=-2.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点.设Q是CC1上的点,则当点Q在什么位置时,平面D1BQ平面PAO?解:如图,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则O(1,1,0),A(2,0,0),P(0,0,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),所以OA=(1,-1,0),OP=(-1,-1,1),BD1=(-2,-2
8、,2).设平面PAO的法向量为n1=(x,y,z),则n1OA=0,n1OP=0,即x-y=0,-x-y+z=0.取x=1,则y=1,z=2.所以平面PAO的一个法向量为n1=(1,1,2).设Q(0,2,c),n2是平面D1BQ的一个法向量,则BQ=(-2,0,c).若平面D1BQ平面PAO,则n1n2,故n2=n1.又因为BQ平面D1BQ,所以n2BQ=0,所以n1BQ=0,即-2+2c=0,所以c=1,这时n1BD1=-2-2+4=0.所以当Q为CC1的中点时,平面D1BQ平面PAO.11.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=AA1=a,AB=2
9、a.试问在线段CD1上是否存在一点N使MN平面ADD1A1?若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由.解:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),D1(0,0,a),C(0,2a,0),E12a,2a,0,M34a,a,0,所以DC=(0,2a,0),DM=34a,a,0,CD1=(0,-2a,a).假设CD1上存在点N使MN平面ADD1A1,并设CN=CD1=(0,-2a,a)(01),则DN=DC+CN=(0,2a,0)+(0,-2a,a)=0,2a(1-),a),MN=DN-DM=-34a,a-2a,a.由题意知DC=(0,2a,0)是平面ADD
10、1A1的一个法向量,所以MNDC,即2a(a-2a)=0,解得=12.因为MN平面ADD1A1,所以存在N为CD1的中点,使MN平面ADD1A1. C级挑战创新12.多选题如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,平行六面体的各棱长均相等.下列结论正确的是()A.A1MD1PB.A1MB1QC.A1M平面DCC1D1D.A1M平面QB1B解析:因为A1M=A1A+AM=A1A+12AB,D1P=D1D+DP=A1A+12AB=A1M,所以A1MD1P,从而A1MD1P,可得A,C两项正确.因为B1Q与D1P不平行,所以B1Q与A1M不平行,所以B,D两项不正确.答案:AC