1、核心素养测评四十八 空间直角坐标系、空间向量及其运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设平面的一个法向量为n1=(1,2,-2),平面的一个法向量为n2=(-2,-4,k),若,则k=()A.2B. 4C.-2 D.-4【解析】选B.因为,所以两个平面的法向量也平行,所以=,即k=4.2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|=|,则P点坐标为()A.(3,0,0) B.(0,3,0)C.(0,0,3) D.(0,0,-3)【解析】选C.设P(0,0,z),则有=,解得z=3.3.若非零向量a,b 满足|a|=|b|,(2a+
2、b)b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120 D.150【解析】选C.因为(2a+b)b =0,所以2ab+b2=0,所以2|a|b|cos +|b|2=0,又因为|a|=|b|0,所以cos =-,所以=120.4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是()A.=2-2-B. =+C.+=3- D.+=4+ 【解析】选C.C项可变形为=+,因为+=1, 所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.5.在空间四边形ABCD中,+ =()A.-1B.0 C.1D.不确定【解析】选B.如图,令 =a,=b,=c, 则+ +=a(c-b)+b(
3、a-c)+c(b-a)=ac-ab+ba-bc+cb-ca=0.【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,所以 =0, =0, =0.所以 +=0.6.已知向量a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为()A.B.C.4D.8【解析】选B.设向量a和b的夹角是,则由空间向量的数量积公式和题意得cos =,所以sin =,所以以a和b为邻边的平行四边形的面积为S=2|a|b|=.7.已知a,b,c是空间的一个基底,a+b,a-b,c是空间的另一个基底
4、,一向量p在基底a,b,c下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底a+b,a-b,c下的坐标是 ()A.(4,0,3)B.(3,1,3)C.(1,2,3) D.(2,1,3)【解析】选B.设p在基底a+b,a-b,c下的坐标为x,y,z.则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,因为p在a,b,c下的坐标为(4,2,3),所以p=4a+2b+3c,由得所以即p在a+b,a-b,c下的坐标为(3,1,3).二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,则c=_.【解析】因为ab,所以=,解得
5、x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).答案:(3,-2,2)9.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为_.【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E1,1,.所以=(0,0,a),=-1,1,.由cos=,所以=a,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).答案:(1,1,1)10.如图,已知在一个60的二面角的棱上,有两个点
6、A,B,AC,BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,则CD的长为_.【解析】设=a,=b,=c,由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,=90,=90,=60,|2=|+|2=|-c+b+a|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc=68,则|=2.答案:2 cm(15分钟35分)1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于()A.B.3C.3D.2【解析】选B.-+=-(-)=3.2.(5分)已知非零向量与满足 +=0且 =, 则ABC为()A.三边均不相等的三角形
7、B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形【解析】选D.由 +=0知:A的平分线垂直于BC,所以ABC为等腰三角形;由 =知A=60,所以ABC为等边三角形.3.(5分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有下列三个条件:A1BAC1;A1BB1C;B1C1=A1C1.试利用、构造出一个正确的命题_. 【解析】设=a,=b,=c,由A1BAC1=0(b-a+c)(-c-a)=0,所以ab=|a|2-| c|2,由A1BB1C=0(b-a+c)( c-b)=0,所以ab=| b|2-| c|2,由B1C1=A1C1得| a|2=|b|2,由不难看出;.答案:(或;)4.(10分)
8、如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.(1)求证:MNAB,MNCD.(2)求MN的长.(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.【解析】(1)设=p,=q,=r.由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60.=-=(+)-=(q+r-p),所以=(q+r-p)p=(qp+rp-p2)=(a2cos 60+a2cos 60-a2)=0.所以.即MNAB.同理可证MNCD.(2)由(1)可知=(q+r-p),所以|2=(q+r-p)2=q2+r2+p2+2(qr-pq-rp)=2a2=.所以|=a.所以MN的长为
9、a.(3)设向量与的夹角为.因为=(+)=(q+r),=-=q-p,所以=(q+r)=.又因为|=|=a,所以=|cos =aacos =.所以cos =.所以向量与的夹角的余弦值为,从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.【误区警示】直线所成角的范围是.5.(10分)如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0xa,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)写出点E,F的坐标.(2)求证:A1FC1E.(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:=+.【解析】(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).(2)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),所以=-ax+a(x-a)+a2=0,所以,所以A1FC1E.(3)因为A1,E,F,C1四点共面,所以,共面.选与为在平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(1,2),使=1+2,即(-x,a,-a)=1(-a,a,0)+2(0,x,-a)=(-a1,a1+x2,-a2),所以解得1=,2=1.于是=+.