1、第一章测评B(高考体验卷)(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为()A.-B.C.1D.解析:3a=2b,由正弦定理得.=2-1=2-1=-1=.答案:D2. 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则ABC的面积是()A.3B.C.D.3解析:在ABC中,由已知条件及余弦定理可得c2=(a-b)2+6=a2+b2-2abcos ,整理得ab=6,再由面积公式S=absin
2、C,得SABC=6sin.故选C.答案:C3. 钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1解析:由题意知SABC=ABBCsin B,即1sin B,解得sin B=.B=45或B=135.当B=45时,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=12+()2-21=1.此时AC2+AB2=BC2,ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135时,AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=12+()2-21=5,解得AC=.符合题意.故选B.答案:B4. 如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高是60 m,则河流的
3、宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m解析:如图,作ADBC,垂足为D.由题意,得DC=60tan 60=60(m),DB=60tan 15=60tan(45-30)=60=60=(120-60)m.所以BC=DC-DB=60-(120-60)=120-120=120(-1)(m),故选C.答案:C5. ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2D.-1解析:A=-(B+C)=-,由正弦定理得,则a=,SABC=absin C=2()+1.答案:B6. 在ABC中
4、,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且ab,则B=()A.B.C.D.解析:根据正弦定理:asin Bcos C+csin Bcos A=b等价于sin Acos C+sin Ccos A=,即sin(A+C)=.又ab,A+C=,B=.故选A.答案:A7. ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c=()A.2B.2C.D.1解析:由正弦定理得:,又B=2A,cos A=,A=30,B=60,C=90,c=2.答案:B8. 在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,则sinBAC=()A.B.C.D.
5、解析:在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=2+9-23=5,即得AC=.由正弦定理,即,所以sinBAC=.答案:C9. 已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=.A,cos A=.cos A=,b=5或b=-(舍).故选D.答案:D10. 在ABC中,AC=,BC=2,B=60,则BC边上的高等于().A.B.C.D.解析:在ABC中,由余弦定理可知:AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即7=
6、AB2+4-22AB.整理得AB2-2AB-3=0.解得AB=-1(舍去)或AB=3.故BC边上的高AD=ABsin B=3sin 60=.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11. 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.解析:由2sin B=3sin C,结合正弦定理得2b=3c,又b-c=a,所以b=c,a=2c.由余弦定理得cos A=-.答案:-12. 在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=.解析:因为bco
7、s C+ccos B=2b,所以由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,即sin(B+C)=2sin B,所以sin(-A)=2sin B,即sin A=2sin B.于是a=2b,即=2.答案:213. 在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积等于.解析:由题意及余弦定理得cos A=,解得c=2.所以S=bcsin A=42sin 60=2.故答案为2.答案:214. 已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.解析:由正弦定理,可得(2+b
8、)(a-b)=(c-b)c.a=2,a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=.sin A=.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.(b-c)20,b2+c22bc,即4+bc2bc,bc4.SABC=bcsin A,即(SABC)max=.答案:15. 在ABC中,已知=tan A,当A=时,ABC的面积为.解析:由=tan A,可得|cos A=tan A.因为A=,所以|,即|=.所以SABC=|sin A=.答案:三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分) 设ABC的内角A,B,C所对边的长
9、分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a值;(2)求sin的值.解:(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正弦定理、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0Ac.已知=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解:(1)由=2,得cacos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因ac,所以a=3,c=2.(2)在AB
10、C中,sin B=,由正弦定理,得sin C=sin B=.因a=bc,所以C为锐角,因此cos C=.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=.18.(6分) 在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面积.解:(1)由题意得=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin,由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin
11、 A=,得a=.由ac,得AC,从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=.所以ABC的面积为S=acsin B=.19.(7分) 如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.解:(1)如题图,在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.故由题设知,cosCAD=.(2)如题图,设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=.在ABC中,由正弦定理,.故BC=3.