1、河南省新乡市辉县市第二高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第卷（选择题）一、单选题（共12小题，每小题5分，计60分）1.已知复数，则的虚部是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，由此得到虚部.【详解】，所以的虚部为.故选：C【点睛】本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的虚部，属于基础题.2.设函数在处存在导数为2，则（ ）.A. B. 6C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据导数定义，化为导数表达式即可【详解】根据导数定义， 所以选A【点睛】本题考查了导数定义的简单应用，属于基础题3.将全体
2、正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（ ）A. 13B. 39C. 48D. 58【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得第n行的第一个数字为，进而可得第20行的第一个数字，据此分析可得答案.【详解】由排列的规律可得，第行结束的时候共排了个数，则第n行的第一个数字为，则第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48；故选：C.【点睛】本小题主要考查合情推理，考查等差数列前项和，属于基础题.4.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的取值是（ ）A. -1B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】求导得到，根据垂直关系得到，解得答案.【详
3、解】，直线，故，解得.故选：.【点睛】本题考查了函数的切线问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.已知，则（ ）A. B. C D. 【答案】A【解析】【分析】根据复合函数求导法则计算【详解】由题意，故选：A【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础6.现有6位同学站成一排照相，甲乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（ ）A. 720B. 360C. 240D. 120【答案】C【解析】【分析】6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起，这是相邻问题，一般用“捆绑法”.将甲乙两名同学“捆绑”在一起，看成一个元素，再与剩下的4人一起全排列，根据分步计数原理即可得出结果
4、.【详解】将甲乙“捆绑”在一起看成一个元素，与其余4人一起排列，而甲和乙之间还有一个排列，共有.故选：C.【点睛】本题考查了排列组合、两个基本原理的应用，相邻问题“捆绑法”求解，属于基础题.7.（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，则，点的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与轴，轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可.【详解】解：令，则，点的轨迹表示半圆，表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与轴，轴围成的曲边梯形的面积，如图：故.故选：B.【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.8.的展开式中的系数是（ ）A. B. C. 120D. 210【答案】B【解析】【分析】根
5、据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则r7，将r7代入通项公式计算可得答案【详解】由二项展开式，知其通项为，令，解得.所以的系数为.故选B.【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题9.如图，一环形花坛分成四块，现有3种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A. 12B. 24C. 18D. 6【答案】C【解析】四块地种两种不同的花共有 种不同的种植方法，四块地种三种不同的花共有 种不同的种植方法，所以共有 种不同的种植方法，故选C.10.若多项式，则（ ）A. 9B. 10C. -9D. -10【答案】D【解析】
6、， ，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1 故选D.11.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案【详解】当n=k时，等式左端=1+2+k2，当n=k+1时，等式左端=1+2+k2+k2+1+k2+2+（k+1）2，增加了项（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2故选C【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题.
7、/12.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在九章算术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”这是一种无限与有限的转化过程，比如在正数中的“”代表无限次重复，设，则可以利用方程求得，类似地可得到正数=（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】B【解析】【分析】先阅读理解题意，再结合题意类比推理可得：设，解得，得解【详解】解：依题意可设，解得，故选：【点睛】本题考查类比推理，属于基础题第卷（非选择题）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线在点处的切线方程为_【答案】.【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利
8、用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：所以，所以，曲线在点处的切线方程为，即【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求14.在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若在(0，4)内取值的概率为0.6，则在(0，+)内取值的概率为_【答案】0.8【解析】【分析】根据服从正态分布，可得曲线的对称轴是直线.由在(0，4)内取值的概率，可求得.再根据正态曲线的对称性，可求在内取值的概率，进而求得在(0，+)内取值的概率.【详解】服从正态分布，曲线的对称轴是，在(0，4)内取值的概率为0.6，则，.故答案为
9、：0.8.【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是基础题.15.已知随机变量X的分布列为，则等于_.【答案】【解析】【分析】由概率分布列中所有概率和为1可求得，从而根据互斥事件概率公式计算出概率【详解】，解得a=5，则.故答案为：【点睛】本题考查随机变量概率分布列，掌握概率分布列的性质是解题关键16.设函数是奇函数的导函数， ，当时，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】根据当时，构造函数 ，求导，在上是减函数，再根据是奇函数，在上是增函数，由，写出的解集.【详解】设 ，所以，因为当时，则，所以在上是减函数，又因为是奇函数，所以在上是增函数，因
10、为，所以，所以当 或时，所以不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题主要考查构造函数，用导数研究函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.复数.（）实数m为何值时，复数z为纯虚数； （）若m=2，计算复数【答案】（1） （2）【解析】试题分析：(1)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为零，据此可得；(2)利用复数的运算法则计算可得.试题解析：（1）欲使z为纯虚数，则须且，所以得 （2）当m=2时，z=2+,=2-,故所求式子等于=18.（1）求证（2）设x，y都是正数，且x+y2证明：和中至少有一个成立
11、【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）用作差法，直接比较与的大小，即可得出结论成立；（2）用反证法，先假设和都不成立，根据题中条件，推出矛盾，即可证明结论成立【详解】（1）=（13+2）-（13+4）=，；（2）假设和都不成立，即2且2，x，y都正数，1+x2y，1+y2x，1+x+1+y2x+2y，x+y2，这与已知x+y2矛盾，假设不成立，即和中至少有一个成立【点睛】本题主要考查证明方法，熟记直接证明与间接证明的方法即可，属于常考题型.19.设曲线在点处取得极值.（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值.【答案】(1)2；(2)在区间和单调递减，在区间单调递增；的极大值
12、为；的极小值为.【解析】【分析】（1）根据，即可容易求得；（2）根据（1）中所求，求得，即可容易求得单调区间和极值.【详解】（1）因为，故可得，又因为，故可得，解得.（2）由（1）可知，令，解得，又因为函数定义域为，故可得在区间和单调递减，在区间单调递增.故的极大值为；的极小值为.【点睛】本题考查利用极值点求参数值，以及利用导数求函数的单调区间和极值，属综合基础题.20.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为.（）求乙投球的命中率；（）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.【答案】（）（）的分布列为0123的数
13、学期望【解析】【详解】试题分析：对于问题（I）由题目条件并结合间接法，即可求出乙投球的命中率；对于问题（II），首先列出两人共命中的次数的所有可能的取值情况，再根据题目条件分别求出取各个值时所对应的概率，就可得到的分布列试题解析：（I）设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件.由题意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率为.（II）由题设知（I）知，可能取值故，的分布列为 考点：1、概率；2、离散型随机变量及其分布列.21.已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR)(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，1)上单调递增，求a的取值范围【答案】（1）见
14、解析（2），+）【解析】【分析】（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）求出f（x）的导数，由题意可得f（x）0在（1，1）上恒成立，即为ax2+（a2）x0，即有x2（a2）xa0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围【详解】（1）a=2时，f（x）=（x2+2x）ex的导数为f（x）=ex（2x2），由f（x）0，解得x，由f（x）0，解得x或x即有函数f（x）单调减区间为（，），（，+），单调增区间为（，）（2）函数f（x）=（x2+ax）ex的导数为f（x）=exax2+（a2）x，由函数f（x）在（1，1）上单调
15、递增，则有f（x）0在（1，1）上恒成立，即为ax2+（a2）x0，即有x2（a2）xa0，则有1+（a2）a0且1（a2）a0，解得a则有a的取值范围为，+）【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，属于中档题和易错题22.实验中学从高二级部中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1个相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛每个班级6名选手，现从每个班级6名选手中随机抽取3人回答这个问题已知这6人中，甲班级有4人可以正确回答这道题目，而乙班级6人中能正确回答这道题目的概率每人均为，
16、甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的（1）求甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率；（2）分别求甲、乙两个班级能正确回答题目人数的期望和方差、，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式以及事件的独立性的性质，即可得出答案；（2）根据超几何分布以及二项分布的性质得出对应的期望和方差，由，作出判断.【详解】（1）甲、乙两个班级抽取的6人都能正确回答的概率（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为则，乙班级能正确回答题目人数为，取值分别为，由可得，由甲班级代表学校参加大赛更好.【点睛】本题主要考查了利用方差和期望解决决策型问题，属于中档题.
