1、第二课时利用空间向量求角和距离1.若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于150,则直线l与平面所成的角等于(B)(A)30(B)60(C)150(D)以上均错解析:直线l与平面所成的角范围是0,90.故选B.2.已知直线l1的方向向量s1=(1,0,1)与直线l2的方向向量s2=(-1,2,-2),则l1与l2夹角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为s1=(1,0,1),s2=(-1,2,-2),所以cos=-.又两直线夹角的取值范围为0,所以l1 和l2夹角的余弦值为.3.在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为(A
2、)(A)0 (B) (C)- (D)解析:建立如图坐标系,则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),所以=(-2,-2,3),=(-2,2,0).所以cos=0.所以=90,其余弦值为0.故选A.4.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin的值等于(B)(A) (B) (C) (D)解析:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M(1,0),所以=(1,1,1),=(1,-,0).所以cos=.所以sin=.故选B.5.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1
3、,1,1),若=2,则空间P,D两点间的距离为(D)(A) (B) (C) (D)解析:设P(x,y,z),因为=2,所以(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),所以所以所以P(-,3),=(,-,-2)所以|=.6.已知A,P,=(-,),平面的一个法向量n=(0,-, -),则直线PA与平面所成的角为(C)(A)30(B)45(C)60(D)150解析:设直线PA与平面所成的角为,则sin =|cos|=.所以=60.7.已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等,E是SB的中点,则AE,SD所成的角的余弦值为(C)(A)(B)(C)(D)解析:建立如图所示的空间直
4、角坐标系,令正四棱锥的棱长为2,则A(1,-1,0),D(-1,-1,0),S(0,0,),E(,),所以=(-,),=(-1,-1,-),所以cos=-,所以AE,SD所成的角的余弦值为.故选C.8.在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则D(0,0,0),A1(1,0,1),E(1,1,),所以=(1,0,1),=(1,1,).设平面A1ED的法向量为n=(x,y,z),则n=0,且n=0,即令x=1,得y=-,z=-1,所以n=(1,-,
5、-1).又平面ABCD的一个法向量为=(0,0,1).所以cos=-.所以平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.9.已知点M(a,0,a),平面过原点O,且垂直于向量n=(-,a),则点M到平面的距离d为.解析:=(a,0,a),则M到平面的距离d=a.答案:a10.直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面所成角的正弦值为 .解析:设直线l与平面所成的角是,a,n所成的角为,sin =|cos |=|=.答案:11.直三棱柱ABCA1B1C1中,BAC=90,AB=AC=CC1,M是A1B1的中点,则AC1与BM所成角的余弦
6、值为 .解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设AB=AC=CC1=2,则A(0,0,0),C1(0,2,2),B(2,0,0),M(1,0,2),所以=(0,2,2),=(-1,0,2),所以cos=.答案:12.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且直线l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到直线l的距离为 .解析:=(-2,0,-1),又n与l垂直,所以P到l的距离为|=.答案:13.如图,正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,M是CE与AD的交点,ACBC,且AC=BC.(1)求证:AM平面EBC;(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小.(1)证明:
7、因为四边形ACDE是正方形,所以EAAC,AMEC.因为平面ACDE平面ABC,所以EA平面ABC.以点A为原点,以过A点平行于BC的直线为x轴,分别以AC和AE所在直线为y轴和z轴,建立空间直角坐标系Axyz.设EA=AC=BC=2,则A(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,0,2).因为M是正方形ACDE的对角线的交点,所以M(0,1,1).因为=(0,1,1),=(0,2,-2),=(2,0,0),所以=0,=0.所以AMEC,AMCB.又因为ECCB=C,所以AM平面EBC.(2)解:因为AM平面EBC,所以为平面EBC的一个法向量.因为=(0,1,1),=(2,
8、2,0),所以cos=.所以=60.所以直线AB与平面EBC所成角的大小为30.14.如图所示,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,点E是AD的中点,将DEC沿CE折起到DEC的位置,使二面角DECB是直二面角.(1)证明:BECD;(2)求二面角DBCE的正切值.(1)证明:因为AD=2AB=2,E是AD的中点,所以BAE,CDE是等腰直角三角形.易知BEC=90,即BEEC.又因为平面DEC平面BEC,平面DEC平面BEC=EC,所以BE平面DEC,又CD平面DEC,所以BECD.(2)解:如图,分别以EB,EC为x,y轴,过E垂直平面BEC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(,0,0
9、),C(0,0),D(0,),=(-,0),=(0,-).易知平面BEC的一个法向量为n1=(0,0,1),设平面DBC的法向量为n2=(x2,y2,z2),由取x2=1,得n2=(1,1,1),所以cosn1,n2=.tann1,n2=,所以二面角DBCE的正切值为.15.如图,在多面体ABCDEF中,CDEF为矩形,ABCD为直角梯形,平面CDEF平面ABCD,BAD=ADC=90,AB=AD=CD=1,ED=,M为线段EA上的动点.(1)若M为EA中点,求证:AC平面MDF;(2)线段EA上是否存在点M,使平
10、面MDF与平面ABCD所成的锐二面角大小为?若存在,求出AM长度;若不存在,说明理由.(1)证明:连接CE交DF于O,连接OM,因为CDEF为矩形,所以O为CE中点,又M为EA中点,所以OMAC,又OM平面MDF,AC平面MDF,所以AC平面MDF.(2)解:存在.因为平面CDEF平面ABCD,在矩形CDEF中,EDDC,平面CDEF平面ABCD=CD,所以ED平面ABCD,又AD平面ABCD,所以EDAD.又CDAD,则以D为原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,则D(0,0,0),A(1,0,0),E(0,0,),F(0,2,).易知M,E重合时不符合,可设=(01),则M(1-,0
11、,),=(1-,0,), =(0,2,),设n=(x,y,z)为平面DMF的法向量,则n=0,n=0,即取x=,y=-,z=1,则n=(,-,1),又ED平面ABCD,所以平面ABCD的法向量可取m=(0,0,1).依题意,|cosm,n|=,解得=2-30,1)或=-(2+3)0,1)(舍去),所以存在点M,当AM=(2-3)AE时,平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的大小为,此时AM=4-6.16.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=1,则D(0
12、,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),C(0,1,0),=(1,1,0),=(0,1,2),=(0,1,0).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则取z=1,则y=-2,x=2,所以n=(2,-2,1).设CD与平面BDC1所成角为,则sin =|cos|= |=|=.17.已知矩形ABCD与ABEF全等,DABF为直二面角,M为AB中点,FM与BD所成角为,且cos =,则AB与BC的边长之比为(C)(A)11 (B)1 (C)2 (D)12解析:设AB=a,BC=b,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则相关各点坐标为F(b,0,0),M（0,0）,B(0,a,0),
13、D(0,0,b),=(-b,0),=(0,-a,b),所以|=,|=,=-,|cos|=,整理得4+5-26=0,所以=.故选C.18.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱长均为1,且AA1底面ABC,则点B1到平面ABC1的距离为.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,0),B(0,1,0),B1(0,1,1),C1(0,0,1),则=(,-1),=(0,1,0),=(0,1,-1).设平面ABC1的一个法向量为n=(x,y,1),则有解得n=(,1,1),则所求距离为=.答案:19.在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,PA平面ABCD,AB=2, AD=,BAD=1
14、20,PA=a,则当a变化时,直线PD与平面PBC所成角的取值范围是.解析:如图建立空间直角坐标系,得B(0,2,0),C(,2-,0),D(,-,0),P(0,0,a).设平面PBC的法向量m=(x,y,z),=(,-,0),=(0,2,-a),所以即令x=1,则y=,z=,得m=(1,),又=(,-,-a),所以cos=,sin =2=,所以sin (0,则(0,.答案:(0,20.如图,在四棱锥PABCD中,PA平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,DAB =ABC=90,E是CD的中点.(1)证明:CD平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相
15、等,求四棱锥PABCD的体积.(1)证明:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设PA=h,则相关的各点坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知=(-4,2,0),=(2,4,0),=(0,0,h).因为=-8+8+0=0,=0,所以CDAE,CDAP.而AP,AE是平面PAE内的两条相交直线,所以CD平面PAE.(2)解:由题设和(1)知,分别是平面PAE,平面ABCD的法向量,而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,所以|cos,|=|cos,|,即|=|.由(1)知,=(-4,2,0),=(0,0,-h),=(4,0,-h),故|=|.解得h=.又梯形ABCD的面积为S=(5+3)4=16,所以四棱锥PABCD的体积为V=SPA=16=.