1、综合提升A级基础巩固1.已知A,B为抛物线y2=2x上两点,且A与B的纵坐标之和为4,则直线AB的斜率为()A.12B.-12C.-2D.2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4,由y12=2x1,y22=2x2,得(y1+y2)(y1-y2)x1-x2=2,即4kAB=2,所以kAB=12.答案:A2.若P为抛物线y2=2px(p0)上任意一点,F为抛物线的焦点,则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A.相交B.相离C.相切D.不确定解析:设PF的中点M(x0,y0),作MNy轴于点N(图略).设P(x1,y1),则|MN|=x0=12(|OF|+x1)=12p2
2、+x1=12|PF|.故相切.答案:C3.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在抛物线y2=x上,则使得ABC的面积为2的点C的个数为()A.1B.2C.3D.4解析:由题意可得,AB=22,AB所在直线的方程为x+y-2=0.设点C的坐标为(m2,m),则点C到直线AB的距离d=|m2+m-2|2.由于ABC的面积为2,故1222|m2+m-2|2=2,化简可得|m2+m-2|=2,所以m2+m-2=2,或m2+m-2=-2.解求得m=-1+172或m=-1-172;解求得m=0或m=-1.综上可得,使得ABC的面积为2的点C的个数为4.答案:D4.(新高考山东卷)若斜率为3的直线过抛物
3、线C:y2=4x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,则|AB|=163.解析:由题意可得抛物线C的焦点为F(1,0),p=2,所以斜率为3的直线的方程为y=3(x-1),把直线的方程代入y2=4x并化简,得3x2-10x+3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=103.由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=103+2=163.5.若正三角形的一个顶点位于原点O,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,且该正三角形的边长为83,则p=2.解析:设正三角形的另两个顶点为A,B.根据抛物线的对称性可知,正三角形OAB的另两个顶点A,B关于x轴对称,设Ay22p,y,则由
4、正三角形的边长为83,可得y22p=12,|y|=43,解得p=2.6.根据下列条件求抛物线的标准方程.(1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点.(2)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.解:(1)将双曲线方程化为标准方程x29-y216=1,得左顶点为(-3,0).由题意设抛物线方程为y2=-2px(p0),且-p2=-3,所以p=6,所以抛物线方程为y2=-12x.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为y2=2px(p0),点A的坐标为(m,-3).由抛物线定义,得5=|AF|=m+p2,结合(-3)2=2pm,得p=1或p=9,故所求抛物
5、线方程为y2=2x或y2=18x.B级拓展提高7.已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB的中点到直线x=p2的距离为1,则p的值为()A.1B.1或3C.2D.2或6解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).由|AF|+|BF|=4,得xA+p2+xB+p2=4,即xA+xB=4-p,所以2x中=4-p.因为线段AB的中点到直线x=p2的距离为1,所以x中-p2=1,所以|2-p|=1,解得p=1或p=3.答案:B8.过抛物线y2=4x的焦点作两条互相垂直的弦AB,CD,则1|AB|+1|CD|=()A.2B.1C.12D.14解析:由题
6、意知抛物线y2=4x的焦点为(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=k(x-1),由方程组y2=4x,y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2k2+4k2,所以|AB|=x1+x2+2=4+4k2.同理可得|CD|=4+4k2,所以1|AB|+1|CD|=14+4k2+14+4k2=14.答案:D9.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点A(1, a)(a0)在抛物线C上,若直线AF与抛物线C交于另一点B,则|AB|的值是()A.12B.10C.9D.4.5解析:因为A(1, a)(a0)在抛物线C:y2=8x上,所以a2=8,解得a
7、=22或a=-22(舍去),即A(1,22),故直线AF的方程为y=-22(x-2).由y=-22(x-2),y2=8x消去y,得x2-5x+4=0,解得x1=1,x2=4,所以点B的坐标为(4,-42),则|AB|=(4-1)2+(-42-22)2=9.答案:C10.已知抛物线C:x2=2py(p0)上一点P(m,3)到焦点F的距离为4,直线l过点M(0,3)且与抛物线C交于A,B两点,|BF|=5,若|AM|=|BM|,则=34.解析:由题意,知3+p2=4,得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y,所以F(0,1).因为|BF|=5,所以点B的坐标为(4,4)或(-4,4),当点B的坐标为
8、(4,4)时,直线l的方程为y=14x+3,与x2=4y联立可得x2-x-12=0,解得x=4或x=-3,所以点A的坐标为-3,94,所以|AM|BM|=|xA|xB|=34,所以=34.同理,当点B的坐标为(-4,4)时,=34.11.多空题抛物线y2=ax上有一点P(3,m),它到焦点的距离等于4,则a=4,m=23.解析:由题意,得a0,且3a=m2,3+a4=4,所以a=4,m=23.12.多空题已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,若它的准线过点(2,1),则该抛物线的标准方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0).解析:根据抛物线关于x轴对称,设其方程为y2=mx,又由其准线
9、过点(2,1),得其准线为直线x=2,则-m4=2,解得m=-8,则该抛物线的标准方程为y2=-8x,焦点坐标为(-2,0).13.已知抛物线C:y2=2px(p0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.(1)求抛物线C的方程.(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.解:(1)由题意,得3+p2=5,所以p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)由(1),知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),则x=x0+22,y=y02,即x0=2x-2,y0=2y,而点P(x0,y0)在抛物线C上,即y02=8x0,所以(2y)2=
10、8(2x-2),即y2=4(x-1),即所求点M的轨迹方程为y2=4x-4.C级挑战创新14.已知抛物线y2=2x.(1)设点A的坐标为23,0,求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.(2)在抛物线上找一点M,使M到直线x-y+3=0的距离最小,求出M的坐标及距离的最小值.解: (1)设抛物线上任一点P(x,y),则|PA|2=x-232+y2=x-232+2x=x+132+13,x0.所以当x=0时,|PA|min2=49,所以|PA|min=23,故距离点A最近的点P的坐标为(0,0).(2)设点M(x0,y0)是抛物线y2=2x上任意一点,则点M到直线x-y+3=0的距离d=|x0-y0+3|2=y02-2y0+622=|(y0-1)2+5|22,当y0=1时,dmin=522=524,所以点M的坐标为12,1.