1、核心素养测评十四 利用导数研究函数的单调性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=f(x)=x3-x2+的图像大致是()【解析】选A.因为f(0)=,所以排除C;因为f(x)=3x2-2x,令f(x)0,所以 x(-,0)或 x时f(x)单调递增,令f(x)0,所以函数f(x)=xex在(0,+)上为增函数;对于C,f(x)=3x2-1,令f(x)0,得x或x0,得0x1,所以函数f(x)=-x+ln x在区间(0,1)上单调递增.3.函数f(x)=cos x-x在(0,)上的单调性是() A.先增后减B.先减后增 C.单调递增D.单调递减 【解析】选D.易知f(x)=
2、-sin x-1,x(0,), 则f(x)0C.a0D.a0【解析】选A.因为f(x)=ax-,所以f(x)=a+.因为函数f(x)=在(0,+)上单调递增,所以f(x)=a+0在(0,+)上恒成立且不恒为零,即a-在(0,+)上恒成立且不恒为零,所以a0.【变式备选】若函数f(x)=kex+x在(0,+)上单调递减,则k的范围为()A.k-1 B.k-1C.k1D.k1【解析】选B.f(x)=kex+1.由题意得kex+10在(0,+)上恒成立,即k-,x(0,+).当x(0,+)时,-(-1,0),所以k-1.5.(2020南昌模拟)已知函数f(x+1)是偶函数,当x(1,+)时,函数f(
3、x)=sin x-x,设a=f,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为 ()A.bacB.cabC.bcaD.abc【解析】选A.因为函数f(x+1)是偶函数,所以函数f(x)的图像关于直线x=1对称,所以a=f=f,b=f(3),c=f(0)=f(2).又因为当x(1,+)时,函数f(x)=sin x-x,所以当x(1,+)时,f(x)=cos x-10,即f(x)=sin x-x在(1,+)上为减函数,所以bac.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数y=f(x)(xR)的图像如图所示,则不等式xf(x)0的解集为_.【解析】由f(x)图像特征可得,在和2,+)上f(
4、x)0, 在上f(x)0,所以xf(x)0等价于或解得0x或x2,所以xf(x)0的解集为2,+).答案:2,+)【变式备选】设函数y=f(x),xa,b其导函数的图像如图所示,则函数y=f(x)的单调递减区间是_.【解析】因为函数y=f(x)的减区间是导函数小于零的区间,由题干图知函数y=f(x)的单调递减区间是(x2,x4).答案:(x2,x4)7.已知函数f(x)=ax+ln x,则当a0时, f(x)的单调递增区间是_,单调递减区间是_.【解析】由已知得f(x)的定义域为(0,+).当a-时,f (x)0,当0x0,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.答案:8.(2020西安
5、模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.若函数f(x)在区间m,m+1上单调递增,则m的取值范围是_.【解析】因为f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),所以a+b=4,f(x)=3ax2+2bx,则f(1)=3a+2b.由题意可得f(1)=-1,即3a+2b=9.联立两式解得a=1,b=3,所以f(x)=x3+3x2,f(x)=3x2+6x.令f(x)=3x2+6x0,得x0或x-2.因为函数f(x)在区间m,m+1上单调递增,所以m,m+1(-,-20,+),所以m0或m+1-2,即m0或m-3.答案:(-,-
6、30,+)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,bR)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点P(1,2),所以f(1)=2.所以a+b=1.又函数图像在点P处的切线斜率为8,所以f (1)=8.又f (x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.解由组成的方程组,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f (x)=3x2+8x-3,令f (x)0,可得x;令f (x)0,可得-3x0得x-1, 由f(x)0得x-1,所以f(x)在(-,-1)上递减,
7、在(-1,+)上递增.当-a0得x-1,由f(x)0得ln(-a)x-1,所以f(x)在(ln(-a),-1)上递减,在(-,ln(-a),(-1,+)上递增.当a=-时,f(x)0,所以f(x)在R上递增.当a0得xln(-a),由f(x)0得-1xln(-a),所以f(x)在(-1,ln(-a)上递减,在(-,-1),(ln(-a),+)上递增.(15分钟35分)1.(5分)(2020南昌模拟)已知函数f(x)=xsin x,x1,x2,且f(x1)0B.x1+x20C.-0D.-0,即f(x)在上是增加的,又因为f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数
8、,所以当f(x1)f(x2)时,有f(|x1|)f(|x2|),所以|x1|x2|,-0.2.(5分)(2020东莞模拟)已知函数f(x)=e|x|-ax2,对任意x10,x20,且x1x2,都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1)0,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意可知函数f(x)是(-,0)上的单调递减函数,且当x0时,f(x)=e-x-ax2,f(x)=-2ax=-0,可得:2axex+10,即a恒成立,令g(x)=xex(x0),则g(x)=ex(x+1),据此可得函数g(x)在区间(-,-1)上单调递减,在区间(-1,0)上单调递增,函数g(x)的最小值
9、为g(-1)=-,则=,故实数a的取值范围是.3.(5分)已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(2)=5,对任意的x都有f(x),则f(x)x+4的解集是_.【解题指南】构造函数F(x)=f(x)-x-4,则F(x)0,故而F(x)为减函数,且F(2)=0,从而得出F(x)0的解集,即f(x)x+4的解集.【解析】设F(x)=f(x)-x-4,则F(x)=f(x)-2时,F(x)0,即f(x)x+4,当x0,即f(x)x+4.答案:(2,+)【变式备选】函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意xR,f(x)2,则f(x)2x+4的解集为_ .【解析】由f(x)2x+4,得f(x)-
10、2x-40,设F(x)=f(x)-2x-4,则F(x)=f(x)-2,因为f(x)2,所以F(x)0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-40等价于F(x)F(-1),所以x-1.答案:(-1,+)4.(10分)已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在区间(1,+)上为增函数,求a的取值范围.(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围.(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.【解析】(1)因为f (x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+)上为增函数,所以f (
11、x)0在(1,+)上恒成立,即3x2-a0在(1,+)上恒成立,所以a3x2在(1,+)上恒成立,所以a3,即a的取值范围是(-,3.(2)由题意得f (x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,所以a3x2在(-1,1)上恒成立.因为-1x1,所以3x20.因为f(x)=x3-ax-1,所以f (x)=3x2-a.由f (x)=0,得x=,因为f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以=1,即a=3.5.(10分)已知函数f(x)=x2+(a+1)x+2ln(x-1).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线与直线2x-y+1=0平行,求出这条切线的方程.(2)讨论函数f(x)的单
12、调区间.【解析】 (1)f(x)=ax+a+1+,得切线斜率为k=f(2)=3a+3,据题设,k=2,所以a=-,故有f(2)=,所以切线方程为y-f(2)=2(x-2),即6x-3y-10=0.(2)f(x)=ax+a+1+=(x1).当a=0时,f(x)=,由于x1,所以f(x)=0,可知函数f(x)在定义区间(1,+)上单调递增,当a0时,f(x)=.若a0,则1时,有f(x)0,函数f(x)在定义区间(1,+)上单调递增,若a1,得当x时,f(x)0;当x时,f(x)0.所以,函数f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.综上,当a0时,函数f(x)的单调递增区间为(1,+);当a0,f(2)=,则不等式f(lg x)0,g(x)在(0,+)上递增,而g(2)=f(2)- =4,故由f(lg x)+4,得g(lg x)g(2),故0lg x2,解得:1x100.