1、宣城市2018-2019学年度第二学期期末调研测试高一数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，且满足，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过反例可依次排除选项；根据不等式的性质可判断出正确.【详解】选项：若，则，可知错误；选项：若，则，可知错误；选项： 又 ，可知正确；选项：当时，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查不等式性质的应用，解决此类问题通常采用排除法，利用反例来排除错误选项即可，属于基础题.2.已知点和点，且，则实数的值是（ ）A. 5或-1B. 5或1C. 2或-6D. -2或6【答案】A【解析】
2、【分析】根据空间中两点间距离公式建立方程求得结果.【详解】解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，属于基础题.3.直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由直线方程求得直线斜率进而可得倾斜角.【详解】由直线，即直线可知斜率为：，所以倾斜角为.故选D.【点睛】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角，属于基础题.4.在中，角对应的边分别是，已知，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析】根据正弦定理求得，根据大边对大角的原则可求得.【详解】由正弦定理得： 本题正确选项：【点睛】本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点
3、，属于基础题.5.在等差数列中，已知，则等于（ ）A. 50B. 52C. 54D. 56【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式求得基本量，根据等差数列性质可得，代入求得结果.【详解】设等差数列公差为则，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的求解问题，关键是能够根据等差数列通项公式构造方程求得公差，属于基础题.6.在中，角对应的边分别是，已知，的面积为，则外接圆的直径为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三角形面积公式求得；利用余弦定理求得；根据正弦定理求得结果.【详解】由题意得：，解得：由余弦定理得： 由正弦定理得外接圆的直径为：本题正确选项：【
4、点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用问题，考查学生对于基础公式和定理的掌握情况.7.圆与圆的位置关系是（ ）A. 外离B. 相交C. 内切D. 外切【答案】D【解析】【分析】根据圆的方程求得两圆的圆心和半径，根据圆心距和两圆半径的关系可确定位置关系.【详解】由圆的方程可知圆圆心为，半径；圆圆心为，半径圆心距为：两圆的位置关系为：外切本题正确选项：【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定，关键是能够通过圆的方程确定两圆的圆心和半径，从而根据圆心距和半径的关系确定位置关系.8.古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织
5、布，每天织布都是前一天2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】B【解析】试题分析：设该女子第一天织布尺，则，解得，所以前天织布的尺数为，由，得，解得的最小值为，故选B考点：等比数列的应用9.若变量，满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由， 由 ，当最大时， 最小，此时 最小，故选C. 【点睛】本题除了做约束条件的可行域再平移 求得正解这种常规解法之外，也可以采用构造法解题，这就要求考生要有较强的观察能力，或者采
6、用设元求出构造所学的系数.10.已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据题意可知所求的球为正四棱柱的外接球，根据正四棱柱的特点利用勾股定理可求得外接球半径，代入球的体积公式求得结果.【详解】由题意可知所求的球为正四棱柱的外接球底面正方形对角线长为：外接球半径外接球体积本题正确选项：【点睛】本题考查正棱柱外接球体积的求解问题，关键是能够根据正棱柱的特点确定球心位置，从而利用勾股定理求得外接球半径.11.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 16B. 20C. 24D. 28【答案】
7、B【解析】【分析】根据三视图可还原几何体，根据长度关系依次计算出各个侧面和上下底面的面积，加和得到表面积.【详解】有三视图可得几何体的直观图如下图所示：其中：，则：，几何体表面积：本题正确选项：【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够根据三视图准确还原几何体，从而根据长度关系可依次计算出各个面的面积.12.如图，长方体中，那么异面直线与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可证得四边形为平行四边形，得到，将所求的异面直线所成角转化为；假设，根据角度关系可求得的三边长，利用余弦定理可求得余弦值.【详解】连接， 四边形为平行四边形 异面直线与所成角即为与
8、所成角，即设， ，在中，由余弦定理得：异面直线与所成角的余弦值为：本题正确选项：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将问题转化为相交直线所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.二、填空题（将答案填在答题纸上）13.已知为直线，为平面，下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确命题的序号是_【答案】【解析】【分析】和均可以找到不符合题意的位置关系，则和错误；根据线面垂直性质定理和空间中的平行垂直关系可知和正确.【详解】若，此时或，错误；若，此时或异面，错误；由线面垂直的性质定理可知，若，则，正确；两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线必垂直于该平
9、面，可知正确本题正确结果：【点睛】本题考查空间中的平行与垂直关系相关命题的判断，考查学生对于平行与垂直的判定和性质的掌握情况.14.点与点关于直线对称，则直线的方程为_【答案】【解析】【分析】根据和关于直线对称可得直线和直线垂直且中点在直线上，从而可求得直线的斜率，利用点斜式可得直线方程.【详解】由，得：且中点坐标为和关于直线对称 且在上 的方程为：，即：本题正确结果：【点睛】本题考查根据两点关于直线对称求解直线方程的问题，关键是明确两点关于直线对称则连线与对称轴垂直，且中点必在对称轴上，属于常考题型.15.对任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分别在和两种情况
10、下进行讨论，当时，根据二次函数图像可得不等式组，从而求得结果.【详解】当，即时，不等式为：，恒成立，则满足题意当，即时，不等式恒成立则需：解得：综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查不等式恒成立问题的求解，易错点是忽略不等式是否为一元二次不等式，造成丢根；处理一元二次不等式恒成立问题的关键是结合二次函数图象来得到不等关系，属于常考题型.16.已知数列中，则的值为 _【答案】1275【解析】【分析】根据递推关系式可求得，从而利用并项求和的方法将所求的和转化为，利用等差数列求和公式求得结果.【详解】由得：则，即本题正确结果：【点睛】本题考查并项求和法、等差数列求和公式的应用，关键是能够利用递推关
11、系式得到数列相邻两项之间的关系，从而采用并项的方式来进行求解.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，正方体棱长为，连接，得到一个三棱锥，求：（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）三棱锥的体积.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求出三棱锥的棱长为，即可求出三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；（2）利用割补法，即可求出三棱锥的体积.试题解析：（1）正方体的棱长为，则三棱锥的棱长为，表面积为，正方体表面积为，三棱锥的表面积与正方体表面积的比值为（2）三棱锥的体积为18.在中，角的对边分别为，已知，.（1）求的值；（2）求和值.【答案】（1）；（2），【
12、解析】【分析】（1）由，求得，由大边对大角可知均为锐角，利用同角三角函数关系求得，利用两角和差正弦公式求得结果；（2）根据正弦定理得到的关系，代入可求得；利用余弦定理求得.【详解】（1） （2）由正弦定理可得：又 ，解得：，则由余弦定理可得：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到同角三角函数关系、两角和差正弦公式、大边对大角的关系、正弦定理和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.19.已知直线，是三条不同的直线，其中.（1）求证：直线恒过定点，并求出该点的坐标；（2）若以，的交点为圆心，为半径的圆与直线相交于两点，求的最小值.【答案】（1）证明见解析；定点坐标；（2）【解析】【分析】（1）将
13、整理为：，可得方程组，从而求得定点；（2）直线方程联立求得圆心坐标，将问题转化为求圆心到直线距离的最大值的问题，根据圆的性质可知最大值为，从而求得最小值.【详解】（1）证明：，可化为：令，解得：，直线恒过定点（2）将，联立可得交点坐标设到直线的距离为，则则求的最小值，即求的最大值由（1）知，直线恒过点，则最大时，即【点睛】本题考查直线过定点问题的求解、直线被圆截得弦长的最值的求解，关键是能够根据圆的性质确定求解弦长的最小值即为求解圆心到直线距离的最大值，求得最大值从而代入求得弦长最小值.20.已知四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点 ()求证：PC平面EBD；
14、()求证：平面PBC平面PCD.【答案】()见解析 ()见解析【解析】试题分析：（1）连，与交于，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；（2）证明，即可证得平面平面试题解析：()连接AC交BD与O，连接EO, E、O分别为PA、AC的中点，EOPC，PC平面EBD，EO平面EBDPC平面EBD()PD平面ABCD, BC平面ABCD，PDBC，ABCD为正方形，BCCD，PDCDD, PD、CD平面PCDBC平面PCD，又BC平面PBC，平面PBC平面PCD.【点睛】本题考查线面平行，考查面面平行，掌握线面平行，面面平行的判定方法是关键21.已知数列的前项和为.（1）求这个数列的
15、通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）当且时，利用求得，经验证时也满足所求式子，从而可得通项公式；（2）由（1）求得，利用错位相减法求得结果.【详解】（1）当且时，当时，也满足式数列的通项公式为：（2）由（1）知：【点睛】本题考查利用求解数列通项公式、错位相减法求解数列的前项和的问题，关键是能够明确当数列通项为等差与等比乘积时，采用错位相减法求和，属于常考题型.22.如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面
16、积最小？并求出最小值.【答案】(1) (2) 的长为4米时，矩形的面积最小，最小值为48平方米.【解析】【分析】（1）设，则，利用平行线分线段成比例可表示出，则，利用，解不等式求得结果；（2）由（1）知，利用基本不等式求得最小值，同时确定等号成立条件求得.【详解】（1）设的长为米，则米 由矩形的面积大于得：又，得：，解得：或即长的取值范围为：（2）由（1）知：矩形花坛的面积为：当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米【点睛】本题考查利用函数模型解决实际问题，涉及到不等式的求解、基本不等式求解最值的问题，关键是能够通过已知中的比例关系将所求矩形面积表示为关于某一变量的函数，从而利用函数的知识来进行求解.
