1、单元复习一、知识点梳理设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则：1设直线所成的角为，则：2设直线与平面所成的角为，则：3设平面所成的二面角的大小为则：若，若，二、学法指导1 平面法向量的基本概念法向量是指与已知平面垂直的向量，它可以根据选取的坐标不同有无数多个，但一般取其中较为方便计算的2 平面法向量的基本计算根据图形建立合适的坐标系，设出已知平面的法向量为(x，y，z)，在已知平面内寻找两条相交直线a，b，并用向量表示它们由于法向量垂直于平面，则必然垂直这两条直线，利用垂直向量点乘为零列出方程组由于有三个未知数x，y，z，一般是设其中一个为特殊值，求出另外两个3 平面法向量的基本应用在
2、求出法向量后，如要证明线面垂直，只需证明要证明的直线平行于该平面的法向量；如要证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直；如要求直线和平面所成的角，只需求出直线和法向量所成的角(利用向量点乘公式求出这个家教的余弦值，它和所求的线面角互余)；如要求二面角大小，只需求出两个平面的法向量所成的角(同样利用点乘公式求出这个角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互补，然后只需简单判断二面角是锐角还是钝角即可)4 关于空间向量在立体几何中的应用问题，其中最主要的计算都是围绕平面的法向量展开的在绝大部分题目中，空间向量是作为数学工具来解决两类问题：一、垂直问题，尤其是线面垂直问题(面面垂直基本类似)；二
3、、角度问题，主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化(线面角与此类似)而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的三、单元检测(一)填空题(每小题5分，共70分)1已知向量，且与互相垂直，则的值是 2已知，则与的数量积等于 3已知向量，则与的夹角为 4在下列命题中：若共线，则所在的直线平行；若所在的直线是异面直线，则一定不共面；若三向量两两共面，则三向量一定也共面；已知三向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为其中正确命题的个数为 5直三棱柱中，若， 则 6设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则BCD是 三角形7在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所
4、成角的余弦值是 8已知向量，若，则与的值分别是 9(如图)一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长为 10已知为夹角，则= 11在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为12如图，在正三棱柱中，已知在棱上，且，若与平面所成的角为，则13如图4，在长方体中，点在棱上移动，则当等于时，二面角的大小为14已知正方形的边长为4，分别是的中点，平面，且，则点到平面的距离为 (二)解答题(共90分)15如图，在棱长为2的正方体中，是的中点，取如图所示的空间直角坐标系(1)写出的坐标；(2)求与所成的角的余弦值16在正方体中，如图分别是的中点，(1)求证：平面；(2)17如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，是的中点，作交于点(1)证明平面；(2)证明平面18如图，四边形是直角梯形，平面，(1)求与平面所成的角余弦；(2)求平面和平面所成角的余弦19如图，在三棱锥中，点分别是的中点，底面(1)求证：平面；(2)当时，求直线与平面所成角的大小；(3)当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心?20是平面外的点，四边形是平行四边形，(1)求证：平面;(2)对于向量，定义一种运算：，试计算的绝对值;说明其与几何体的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义
