1、2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷02（人教A版）（理）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：人教A版 必修5全册+选修2-1全册一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知等比数列的公比为，那么“”是“无单调性”的( )。A、充分不必要条件 B、必须不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】能推出无单调性，又无单调性时或，故选A。2如图所示，空间四边形中，点在上，且，为中点，则( )。A、 B、C、 D、【答案】B【解析】，应选B。3已知椭圆()的两焦点分别为、。若椭圆上有一点
2、，使，则的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】设，则，又，即，从而，故选B。4数列中，数列为等比数列且，若，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】且，又数列为等比数列，故选D。5的顶点分别为、，则边上的高的长为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】、，则，点在直线上，设，则，又，则，解得。，则，故选C。6在，点是的重心，则的最小值是( ) 。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】设的中点为，点是的重心， ，再令，则，解得，当且当时取等号，故选C。7已知、是双曲线：的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点，使得，为坐标原点，且，则的值为( )。
3、A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】， ，设点，则，故选C。8如图所示，在正四棱柱中，动点、分别在线段、上，则线段长度的最小值是( )。A、 B、C、 D、【答案】C【解析】如图建系，则，设点，则，则，设点，则，则，则当且仅当、时，线段长度取最小值是，故选C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知，下列四个条件中，使成立的既不充分也不必要的条件是( )。A、 B、 C、 D、【答案】CD【解析】A选项：，但不能，则是的充分而不必要条件， 例：，则，而，但，B选项：不能，但，则是
4、的必要而不充分条件，例：，但，而，则，C选项：不能，也不能，则是的既不充分也不必要条件，例：，但，而，但，D选项：不能，也不能，则是的既不充分也不必要条件，例：，但，而，但，综上，选CD。10等比数列中，公比，前项和为，下列结论错误的是( )。A、， B、，C、， D、，【答案】ABD【解析】，A选项，若，则，无解，错，B选项，构造函数，易知在上单调递增，当时，上不能保证恒成立，错，C选项，恒成立，即恒成立，对，D选项，若，则，显然不成立，错，故选ABD。11设，则当取最小值时，下列说法正确的是( )。A、 B、 C、 D、【答案】AC【解析】原式 当且仅当，即，时等号成立，此时，故选AC。1
5、2已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【答案】AC【解析】(1)当时，设，则，设，由题意可知，则，代入得，即，解得，则， (2)当时，设，设，则，由题意可知，则，则，则，代入得，即，解得，则， 故选AC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 。【答案】【解析】，解得。14如图所示，二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于。已知，则该二面角的大小为 。【答案】【解析】由条件知， ，即，二面角的大小为
6、。15若数列，的通项公式分别是，且恒成立，则实数的取值范围是 。【答案】【解析】当()时由恒成立得恒成立，当()时由恒成立得恒成立，又不能等于，综上，填。16已知为坐标原点，是椭圆：()的左焦点，、分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一点，且轴。过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则椭圆的离心率为 。【答案】【解析】作图，由题意得、，设，由得，则；又由，得，则；由得，即，则，故选A。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）设等差数列公差为，前项和为，等比数列公比为，已知，。(1)求数列、的通项公式；(2)当时，记，求数列
7、的前项和。【解析】(1)由题意有，即，解得或， 2分 故或； 4分(2)由，知，故， 5分于是， 6分 ， 7分-可得， 9分故。 10分18（本小题满分12分）在中，、分别为内角、的对边，且。(1)证明：；(2)若的面积，求的最小值。【解析】(1)在中，由题意、正弦定理及余弦定理得：，则，即，故， 3分， 5分即， 6分(2)，则，又，即，则， 8分由得， 10分则，当且仅当时取等号，故的最小值为。 12分19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，为的中点。(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值。【解析】(1)， ， 2分在中， 3分又、平面，平面； 4分 (2)由(1)得 、，
8、又，平画，以为坐标原点，如图建立空直角坐标系， 5分、，又为的中点，则， 6分由图可知平面的法向量为，又， 8分设直线与平面所成角的平面角为，则， 11分则。 12分20（本小题满分12分）已知直线与抛物线：()交于、两点，且点、在轴两侧，其准线与轴的交点为点，当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，。(1)求抛物线的标准方程；(2)若抛物线的焦点为，且与的面积分别为、，求的最小值。【解析】(1)当直线的斜率为且过抛物线的焦点时，直线的方程为， 1分设、，联立得：， 2分则， 3分，解得， 4分此抛物线的标准方程为； 5分 (2)由(1)知抛物线的方程为，设直线：， 6分直线与抛物线相交， 7分联立
9、得：，则， 8分则，解得或(舍)， 9分直线：，恒过定点，设，从而、， 10分则， 11分当且仅当时不等式取等号， 故的最小值为。 12分21（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，平面，为的中点。(1)求证：；(2)若二面角的大小为，求的长。【解析】(1)在中，由余弦定理得：，则，则， 2分为的中点，又，则 ， 4分又平面，平面，、平面，平面，又平面，； 6分(2)由(1)可得，平面，设，如图建系，则， 7分设平面的法向量为，则，即，取，则，得， 10分又平面的法向量为，设二面角的平面角为，则，解得，。 12分22（本小题满分12分）已知椭圆()，设为椭圆上一点，且，。(1)求；(2)若，是否存在以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形？若存在，请求出共有几个？若不存在，请说明理由。【解析】(1)设，由椭圆定义得，设椭圆的半焦距为，则， 2分对由余弦定理得：，解得，又，结合得； 5分(2)可得椭圆的标准方程为：，当、中一个斜率为零，一个斜率不存在显然不符合题意， 6分设：，不妨设，联立直线和椭圆方程得：， 7分两根为、， ， 8分由，得，把中的换成，可得， 10分由，得，结合化简得，整理得，解得、，均符合，符合条件的的个数有个。 12分