1、2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷01（人教A版）（理）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：人教A版 必修5全册+选修2-1第一章、第二章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1已知，则条件“”是条件“”的( )。A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充分且必要条件 D、既不充分又不必要条件【答案】B【解析】当时，不成立，充分性不成立，当、时成立，也成立，必要性成立，“”是条件“”的必要不充分条件，故选B。2已知椭圆的一个焦点为，则的值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】方程变形为，
2、焦点在轴上，解得，又，解得则，故选D。3等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，且，当时前项和取最小值，故选C。4已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，即，即，又，故选B。5在中，内角、的对边分别为、，若、成等比数列，且，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】在中，、成等比数列，则，由得：，则，故选B。6九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿
3、，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，五人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)。”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得( )。A、一鹿、三分鹿之一 B、一鹿 C、三分鹿之二 D、三分鹿之一【答案】B【解析】由题意可知，五人按等差数列进行分五鹿，设大夫得的鹿数为首项，且，公差为，则，解得，簪裹得一鹿，故选B。7已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】由题意，得、，设过的抛物
4、线的切线方程为：，联立得：，令，得，即，不妨设，由双曲线的定义得，则该双曲线的离心率为，故选C。8设锐角的三个内角、的对边分别为、，且，则周长的取值范围为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】为锐角三角形，且，又，又，由，即，令，则，又函数在上单调递增，函数值域为，故选C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9已知双曲线：(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为( )。A、 B、 C、 D、【答案】BC【解析】两条渐近线的夹角为，或，又，解得或，双曲
5、线的标准方程为或，故选BC。10在中，已知，则下列论断正确的是( )。A、B、C、D、【答案】BD【解析】；，整理得，不一定等于，A不正确，B正确，不一定成立，故C不正确，又，D正确，故选BD。11若数列通项公式为，则满足的正整数的个数为( )。A、 B、 C、 D、【答案】AB【解析】由可知，当时，解得，不符，舍去，当时，即，解得或，符合，可取，故选AB。12已知点为抛物线：的焦点，过点作直线交抛物线于、两点，设直线、的斜率分别为、，若、成公差不为零的等差数列，则直线的方程为( )。A、 B、 C、 D、【答案】AC【解析】焦点，设直线的方程为，代入抛物线得，设、，或，又、等差且公差不为零，
6、则，则，解得或，直线方程为或，即或。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13命题“实数的平方都是正数”的否定是 。【答案】至少有一个实数的平方不是正数【解析】全称命题的否定一定是特称命题，“实数的平方都是正数”是全称命题，只是省略了“所有”两字，全称命题的否定是“至少有一个实数的平方不是正数”。14己知，那么的最小值为 。【答案】【解析】，则，则，当且仅当即时取等号，最小值为。15已知数列满足，()，则 。【答案】【解析】由，得， 。则。16在中，是边上的中线，。若，则 ；若，则的面积为 。(本小题第一个空2分，第二个空3分)【答案】 【解析】在中，又为边上的中点，则，为等边三角形
7、，；，设，则，在中，则，即，在中，则，即，联立得，代入得，解得，即，则，则，。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）在中，角、所对的边分别为、，已知。(1)求的值；(2)若，求的取值范围。【解析】(1)在中，由已知得：， 1分即， 3分又，； 5分(2)由余弦定理得：， 7分，又，于是有，即有。 10分18（本小题满分12分）已知数列的前项和为，()。(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和。【解析】(1)当时，当时， 2分经检验，当时，符合，综上，求数列的通项公式为； 3分(2)，则， 5分， 6分， 7分上式减下式得：，
8、 9分。 10分19（本小题满分12分）在中，是的平分线，点在线段上，且。(1)求的值；(2)若，求的面积。【解析】(1)在中，由正弦定理得：，即， 1分在中，由正弦定理得：， 2分则，即，即， 4分又，； 5分 (2)由(1)知，又，是锐角， 6分， 8分在中，由正弦定理可得， 10分。 12分20（本小题满分12分）已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：(1)求、的标准方程；(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。【解析】(1)设抛物线：()，则有()， 1分据此验证个点知，在抛物线上
9、，易求：， 2分设椭圆：()，把点，代入得：， 3分解得，的方程为：； 4分(2)设，将代入椭圆方程，消去得：， 5分，即， 6分由根与系数关系得，则， 7分线段的中点的坐标为， 8分又线段的垂直平分线的方程为， 9分由点在直线上，得， 10分即， 11分由得，即或，实数的取值范围是。 12分21（本小题满分12分）已知数列满足，。(1)试确定的值，使得为等差数列；(2)若，求数列的前项和。【解析】(1)由，可得， 1分 若数列为等差数列，则， 2分即，解得， 3分此时， 4分，故当时，数列为等差数列； 5分 (2)当时，由，可得： 当为偶数时， 6分 ， 8分当为奇数时， 9分， 11分 综上，。 12分22（本小题满分12分）已知圆： ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。(1)求曲线的方程；(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为， 两圆相内切，又， 2分点的轨是以、为焦点的椭圆，其中， 3分、，的轨迹方程为； 4分 (2)当轴时，有、，由得，又，、， 6分当与轴不垂直时，设直线的方程为，联立得：， 8分则，由得，即， 10分整理得：，综上所述，的面积为定值。 12分
