1、核心素养测评六十八 随机变量的均值与方差(30分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=()A.B.2C.D.3【解析】选A.E(X)=1+2+3=.2.若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)等于()A.2 B.2或C. D.1【解析】 选C.由题意,+=1,a0,所以a=1,所以E(X)=0+1=. 3.已知X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,则D(2X-1)=()A.B.C.D.【解析】选B.因为X是离散型随机变量,P(X=1)=,P(X=a)=,E(X)=,所以由已知得
2、1+a=,解得a=2,所以D(X)=1-2+2-2=,所以D(2X-1)=22D(X)=4=.4.节日期间,某种鲜花进货价是每束2.5元,销售价为每束5元;节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测,节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布:X200300400500P0.200.350.300.15若购进这种鲜花500束,则利润的均值为()A.706元B.690元 C.754元D.720元【解析】选A.由分布列可以得到E(X)=2000.2+3000.35+4000.3+5000.15=340,所以利润是(3405+1601.6)-5002.5=706(元). 5.
3、如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割成125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为E=()A.B.C.D.【解析】选B.X的分布列为 X0123P所以E(X)=0+1+2+3=.6.已知随机变量X的分布列如表所示,若E=2,则D的值可能是()X123PabcA.B.C.D.2【解析】选B.由题意可得,E=2=a+2b+3c,a+b+c=1,所以a=c,则D=a(1-2)2+b(2-2)2+c(3-2)2=a+c,由概率的性质可知a+c1,因此D的值可能是.7.若随机变量X的分布列如表,且E(X)=2,则D(2X-3)=()X02aPp
4、A.2B.3C.4D.5【解析】选C.由概率的性质知p=1-=,则E=0+2+a=2a=3,所以D=+=1,则D=22D=4.二、填空题(每小题5分,共15分)8.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中有放回地任取3件,若X表示取到次品的次数,则D(X)=_.【解析】因为XB,所以D(X)=3=.答案:9.一射击测试,每人射击三次,每击中目标一次记10分,没有击中记0分.某人每次击中目标的概率为,则此人得分的均值为_,方差为_.【解析】记此人三次射击击中目标X次,得分为Y分,则XB,Y=10X,所以E(Y)=10E(X)=103=20,D(Y)=100D(X)=1003=.答案:2010
5、.据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险,交保险费100元,若一年内万元以上财产被窃,保险公司赔偿a元(a1 000),为确保保险公司有可能获益,则a的取值范围是_.【解题指南】转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题,由此列不等式求解.【解析】X表示保险公司在参加保险者身上的收益,其概率分布列为:X100100-aP0.9950.005E(X)=0.995100+(100-a)0.005=100-.若保险公司获益,则期望大于0,解得a20 000,所以a(1 000,20 000).答案:(1 000,20 000)(15分钟3
6、5分)1.(5分)设10x1x2x3D(2).B.D(1)=D(2).C.D(1)D(2).D.D(1)与D(2)的大小关系与x1,x2,x3,x4的取值有关.【解析】选A. 令E(1)=0.2(x1+x2+x3+x4+x5)=t,则E(2)=0.2(+)=t, D(1)=0.2+ =0.2(+)-2(x1+x2+x3+x4+x5)t+5t2; 记=x1,=x2,=x5,同理得D(2)=0.2(x+x+x+x+x)-2(x1+x2+x3+x4+x5)t+5t2,只需比较x+x+x+x+x与+的大小, x+x+x+x+x=+ =2(+)+(2x1x2+2x2x3+2x3x4+2x4x5+2x5x
7、1) 2(+)+(+)+(+)+(+)+(+)+(+)=+,所以D(2)D(2),而迅速攻下此题.2.(5分)为了提高学生学习数学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设数学史生活中的数学数学与哲学数学建模四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一门课程都是等可能的.设X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数,则X的数学期望E(X)为_.【解析】X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列为X0123P所以X的数学期望E(X)=0+1+2+3=.答案:【秒杀绝招
8、】甲、乙、丙三人从四门校本课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数,则XB,所以X的数学期望E(X)=3=.3.(5分)设20是等差数列x1,x2,x3,x19的公差,随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x19,则标准差=_.【解析】因为随机变量等可能地取值x1,x2,x3,x19,所以P=,i=1,2,3,19,所以E()=x10,D()=+=+=+=30d2,所以=d=20.答案:204.(10分)某学校在学校内招募了12名男志愿者和18名女志愿者.将这30名志愿者的身高编成如图茎叶图(单位:cm),若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为
9、“高个子”,身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人,再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出X的分布列,并求X的数学期望.【解析】(1)根据茎叶图,有高个子12人,非高个子18人,所以利用分层抽样的方法抽取的高个子的人数为5=2人,抽取的非高个子人数为5=3人,设至少有一人是高个子为事件A,则P(A)=,即至少有一人是高个子的概率为.(2)依题意知,“女高个
10、子”的人数为X,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.随机变量X的分布列是:X0123P数学期望E(X)=0+1+2+3=1.5.(10分)贫困户杨老汉是扶贫政策受益人之一.据了解,为了帮助杨老汉早日脱贫,负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为,扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为,帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为.(1)求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率.(2)设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为X,求X的分布列.(3)杨老汉对三
11、位帮扶人员非常满意,他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访.”请问:他说的是真的吗?【解析】(1)设帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的事件为A.P(A)=,所以帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=+=,P(X=2)=+=;P(X=3)=,随机变量X的分布列为X0123P(3)E(X)=+=,所以E(X)1,所以杨老汉说的是真的.1.已知随机变量的分布列如表:-101Pabc其中a,b,c成等差数列,则P(=1)的值与公差d的取值范围分别是()A.,B.,C.,D.,【解析】选A.由题意,因为a,b,c成等差数
12、列,所以2b=a+c,又由a+b+c=1,解得b=,则P(=1)=a+c=,则a=-d,c=+d,根据分布列的性质,得0-d,0+d,所以-d.2.(多选)已知袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.若=aX+b,E()=1,D()=11,则a+b的值是()A.0B.1C.2D. 3【解析】选AC.由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,E(X)=0+1+2+3+4=,D(X)=+=.由D()=a2D(X),得a2=11,即a=2.又E()=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2+b,得b=-2,此时a+b=0.当a=-2时,由1=-2+b,得b=4,此时a+b=2.
