1、第3讲利用导数研究函数的最(极)值考试要求1.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(A级要求)；2.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)(B级要求).知 识 梳 理1.函数的极值若在函数yf(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有f(x)f(x0)，则称函数yf(x)在点xx0处取得极小值，记作y极小值f(x0).2.求函数极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的所有实数根；(3)观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f(x)的符号如何变化，若f(x)的符号由正变负，则f(xn)是极大值；若由负变正，
2、则f(xn)是极小值；若f(x)的符号在xn的两侧附近相同，则xn不是函数f(x)的极值点.3.函数的最值若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的最大值，记作ymaxf(x0)；若在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的xI，都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的最小值，记作yminf(x0).4.求函数yf(x)在区间a，b上的最值的步骤：(1)求f(x)在区间a，b上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“
3、”或“”)(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)函数的极大值不一定比极小值大.()(3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0为极值点的充要条件.()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)函数在某区间或定义域内极大值可以不止一个，故(1)错误，(3)对可导函数f(x)，f(x)0是x0为极值点的必要条件.答案(1)(2)(3)(4)2.函数f(x)x33x22在区间1，1上的最大值是_.解析f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2.f(x)在1，0)上是增函数，f(x)在(0，1上是减函数.f(x)maxf(x)极大值f(0)2.
4、答案23.下列函数：yx3；yln(x)；yxex；yx.其中，既是奇函数又存在极值的是_(填序号).解析由题意可知，中的函数不是奇函数，中函数yx3单调递增(无极值)，中的函数既为奇函数又存在极值.答案4.(2018全国卷改编)函数yx4x22的图象大致为_(填序号).解析当x0时，y2，排除.由y4x32x0，得x0或x，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1，1)上有三个极值点，所以排除，故填.答案5.(2018江苏卷)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为_.解析f(x)6x22ax2x(3xa)(aR)，当a0时，
5、f(x)0在(0，)上恒成立，则f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，所以此时f(x)在(0，)内无零点，不满足题意.当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0得0x0，f(x)单调递增，当x(0，1)时，f(x)0时，h(x)0；当x0时，h(x)0.当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，a)时，xa0，g(x)单调递增；当x(a，0)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当xa时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)a3sin a，当x0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)a.当a0时，g(x)x(xsin x)，当x(，)时，g(x)0，g(x)
6、单调递增；所以g(x)在(，)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.当a0时，g(x)(xa)(xsin x)，当x(，0)时，xa0，g(x)单调递增；当x(0，a)时，xa0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增.所以当x0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)a；当xa时g(x)取到极小值，极小值是g(a)a3sin a.综上所述：当a0时，函数g(x)在(，0)和(a，)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)a，极小值是g(a)a3sin a.【例12】 已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)证明：f(x
7、)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)22.(1)解f(x)的定义域为(0，)，设g(x)axaln x，则f(x)xg(x)，f(x)0等价于g(x)0，因为g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1.若a1，则g(x)1.当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以x1是g(x)的极小值点，故g(x)g(1)0.综上，a1.(2)证明由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x，设h(x)2x2ln x，则h(x)2.当x时，h(x)0.所以h(x)在单调递减，在单调递增.又h(e2)0，h0；当x(x0，1)时，h(x)0.
8、因为f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一极大值点.由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0).由x0(0，1)得f(x0)f(e1)e2.所以e2f(x0)0，所以当x(0，2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增.所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，).(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x0，)，因为g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增.故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，ln k)时，g(
9、x)0，函数yg(x)单调递增.所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k).函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点当且仅当解得ek1，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值.若a1，则当x(0，1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1，).考点二利用导数求函数的最值【例2】 (2019徐州模拟)已知函数f(x)(4x24axa2)，其中a0.(1)当a4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间1，4上的最小值为8，求a的值.解(1)当a4时，由f(x)0得x或x2，由f(x) 0得x(0，)或(2，)，故函数f
10、(x)的单调递增区间为(0，)和(2，).(2)f(x)，a0，由f(x)0得x或x.当x时，f(x)单调递增；当x时，f(x)单调递减；当x时，f(x)单调递增.易知f(x)(2xa)20，且f0.当1时，即2a0时，f(x)在1，4上的最小值为f(1)，由f(1)44aa28，得a22，均不符合题意.当14时，即8a2时，f(x)在1，4上的最小值为f0，不符合题意.当4时，即a8时，f(x)在1，4上的最小值可能在x1或x4处取得，而f(1)8，由f(4)2(6416aa2)8得a10或a6(舍去)，当a10时，f(x)在(1，4)单调递减，f(x)在1，4上的最小值为f(4)8，符合题
11、意.综上有，a10.规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.【训练2】 (1)讨论函数f(x)ex的单调性，并证明当x0时，(x2)exx20；(2)证明：当a0，1)时，函数g(x)(x0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a)，求函数h(a)的值域.(1)解f(x)的定义域为(，2)(2，).f(x)0，且仅当x0时，f(x)0，所以f(x)在(，2)，(2，)单调递增.因此当x(0，)时，f(
12、x)f(0)1.所以(x2)ex(x2)，即(x2)exx20.(2)证明g(x)(f(x)a).由(1)知，f(x)a单调递增，对任意a0，1)，f(0)aa10，f(2)aa0.因此，存在唯一xa( 0，2，使得f(xa)a0，即g(xa)0.当0xxa时，f(x)a0，g(x)xa时，f(x)a0，g(x)0，g(x)单调递增.因此g(x)在xxa处取得最小值，最小值为g(xa).于是h(a)，由0，单调递增.所以，由xa(0，2，得0，则由f(x)0得xln a.当x(，ln a)时，f(x)0.故f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增.若a0，则由f(x)0得
13、xln.当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.(2)若a0，则f(x)e2x，所以f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a2ln a，从而当且仅当a2ln a0，即0a1时，f(x)0.若a0，则由(1)得，当xln时，f(x)取得最小值，最小值为fa2，从而当且仅当a20，即a2e时f(x)0.综上，a的取值范围是2e，1.规律方法利用导数解决不等式问题的一般思路：(1)恒成立问题的三种常见解法：分离参数，化为最值问题求解，如a(x)max或a(x)min；构造函数，分类讨论，如f(x)g(x)，即F(x)f(x)g(
14、x)，求F(x)min0；转变主元，选取适当的主元可使问题简化.(2)恒成立问题常利用分离参数法转化为最值问题求解.若不能分离参数，可以对参数进行分类讨论.(3)证明不等式问题可通过构造函数转化为函数的最值问题求解.【训练3】 设函数f(x)(1x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)ax1，求a的取值范围.解(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0，得x1或x1，当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(1，)单调递减，在(1，1)单调递增.(2)f(x)(1x)(1x)ex.当a1时，设函数h(x)(1x)ex，h(x)
15、xex0)，因此h(x)在0，)上单调递减，而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1；当0a0(x0)，所以g(x)在0，)上单调递增，而g(0)0，故exx1.当0x(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，则x0(0，1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01；当a0时，取x0，则x0(0，1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01，综上，a的取值范围是1，).一、必做题1.(2019徐州模拟)已知函数f(x)x3x2xm在0，1上的最小值为，则实数m的值为_.解析由f(x)x3x2xm，可得f(x)x22x1，
16、令x22x10，可得x1.当x(1，1)时，f(x)0，即函数f(x)在(1，1)上是减函数，即f(x)在0，1上的最小值为f(1)，所以11m，解得m2.答案22.若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_.解析f(x)x2(a2)xa1ex1，则f(2)42(a2)a1e30a1，则f(x)(x2x1)ex1，f(x)(x2x2)ex1，令f(x)0，得x2或x1，当x1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0，则f(x)极小值为f(1)1.答案13.已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值，若m1，1，则f(m)的最小值为_.解析f(x)3x22ax，由f
17、(x)在x2处取得极值知f(2)0.即342a20，故a3.由此可得f(x)x33x24.f(x)3x26x，由此可得f(x)在(1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，对m1，1时，f(m)minf(0)4.答案44.设x1，x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是_.解析由题意得f(x)3x24axa2的两个零点x1，x2满足x12x2.所以f(2)128aa20，解得2a6.答案(2，6)5.若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_.解析因为f(x)的定义域为(0，)，又因为f(x
18、)4x，所以由f(x)0解得x，由题意得解得1k)，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则a_.解析由题意知，当x(0，2)时，f(x)的最大值为1.令f(x)a0，得x，当0x0；当x时，f(x)0)，f(x)ln x1aex(x0)，由已知函数f(x)有两个极值点可得ya和g(x)在(0，)上有两个交点，g(x)(x0)，令h(x)ln x1，则h(x)0，h(x)在(0，)上单调递减且h(1)0，当x(0，1时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(0，1上单调递增，g(x)g(1)，当x(1，)时，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(1，)上单调递减，故g(x)maxg(1)，而
19、x0时，g(x)，x时，g(x)0；若ya和g(x)在(0，)上有两个交点，只需0a.答案8.已知函数f(x)x3x22ax1，若函数yf(x)在(1，2)上有极值，则实数a的取值范围为_.解析法一令f(x)x22x2a0，得x11，x21，因为x1(1，2)，因此则需1x22，即112，即412a9，所以a4，故实数a的取值范围为.法二f(x)x22x2a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x1，则f(x)在(1，2)上是单调递增函数，因此解得a0时，极小值为f(0)1；当t0时，f(x)在R上单调递减；当t0，即t，综上，t.答案10.设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)讨
20、论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0，1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2，所以f(x)3(xx1)(xx2).当xx1或xx2时，f(x)0；当x1xx2时，f(x)0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增.(2)因为a0，所以x10，x20.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，1上单调递增，所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值.当0a4时，x21.由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2，1上单调递减，因此f(x)在
21、xx2处取得最大值.又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值.11.设函数f(x)(xa)ln x，g(x). 已知曲线yf(x) 在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行.(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值.解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，
22、所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)当k1时，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根.设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0，1时，h(x)0.又h(2)3ln 2ln 8110，所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1，2)时，h(x)10，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增，所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0.且x(0，x0)时，f(x)g(x)，x(x0，)时，f(x)g(x)，所以m(x
23、)当x(0，x0)时，若x(0，1，m(x)0；若x(1，x0)，由m(x)ln x10，可知0m(x)m(x0)；故m(x)m(x0).当x(x0，)时，由m(x)，可得x(x0，2)时，m(x)0，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减；可知m(x)m(2)，且m(x0)m(2).综上可得，函数m(x)的最大值为.二、选做题12.(2018全国卷)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0得，x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增.(2)证明由(1)知，f(x
24、)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x11.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减，又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.13.(2018苏、锡、常、镇二模)设函数f(x)ln(x1)a(x2x)，其中aR.(1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；(2)若x0，f(x)0成立，求a的取值范围.解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(1，)，f(x)a(2x1).令g(x)2ax2axa1，x(
25、1，).当a0时，g(x)1，此时f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点；当a0时，a28a(1a)a(9a8).()当0a时，0，g(x)0，f(x)0，函数f(x)在(1，)上单调递增，无极值点；()当a时，0，设方程2ax2axa10的两根为x1，x2(x1x2)，因为x1x2，所以x1，x2.由g(1)10，可得1x1.所以当x(1，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；因此函数有两个极值点.()当a0时，0，由g(1)1
26、0，可得x11.当x(1，x2)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x(x2，)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递减；所以函数有一个极值点.综上所述，当a0时，函数f(x)有一个极值点；当0a时，函数f(x)无极值点；当a时，函数f(x)有两个极值点.(2)由(1)知，当0a时，函数f(x)在(0，)上单调递增，因为f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意；当a1时，由g(0)0，得x20，所以函数f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)0，所以x(0，)时，f(x)0，符合题意；当a1时，由g(0)0，可得x20.所以x(0，x2)时，函数f(x)单调递减；因为f(0)0，所以x(0，x2)时，f(x)0，不合题意；当a0时，设h(x)xln(x1).因为x(0，)时，h(x)10 ，所以h(x)在(0，)上单调递增，因此当x(0，)时，h(x)h(0)0，即ln(x1)x.可得f(x)xa(x2x)ax2(1a)x，当x1时，ax2(1a)x0，此时f(x)0，不合题意.综上所述，a的取值范围是0，1.