1、核心素养测评六十七 条件概率与事件的独立性、正态分布(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是()A. B. C. D.【解析】选B.三次均为红球的概率为=,三次均为黄、绿球的概率也为,所以抽取3次颜色相同的概率为+=.2.袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球,逐个不放回地摸出两球,设“第一次摸得白球”为事件A,“摸得的两球同色”为事件B,则P(B)=()A. B.C.D.【解析】选C.因为P=,P=,所以P=.3.已知ABCD为正方形,其内切圆I与各边分别切于E,F,G,H,连接EF,FG,GH
2、,HE.现向正方形ABCD内随机抛掷一粒豆子,记事件A:豆子落在圆I内,事件B:豆子落在四边形EFGH外,则P(B|A)=()A.1-B.C.1-D.【解析】选C.设正方形ABCD的边长为2,则内切圆的半径为1,正方形EFGH的边长为,所以 P=,P=,所以P=1-.4.在如图所示的电路图中,开关a,b,c闭合与断开的概率都是,且是相互独立的,则灯亮的概率是() A. B. C. D.【解析】选B.设开关a,b,c闭合的事件分别为A,B,C,则灯亮这一事件E=(ABC)(AB)(AC),且A,B,C相互独立,ABC,AB,AC互斥,所以P(E)=P(ABC)+P(AB)+P(AC)=P(A)P
3、(B)P(C)+P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)=+1-+1-=.5. 甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为() A.B.C.D.【解析】选A.设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件B,丙命中目标为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P()=P()P()P()=1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-1-1-=.所以击中的概率P=1-P()=.6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp,则n的最小值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选A.将一枚质地均匀
4、的硬币连续抛掷n次,事件“至少有一次正面向上”的概率为pp,所以p=1-n,所以n.所以n的最小值为4.7.已知随机变量X服从二项分布XB6,则P(X=2)等于()A.B.C.D.【解析】选D.因为随机变量X服从二项分布XB6,所以 P(X=2)=21-4=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.甲、乙两人各进行一次射击,假设两人击中目标的概率分别是0.6和0.7,且射击结果相互独立,则甲、乙至多一人击中目标的概率为_.【解析】设甲击中目标记为事件A,乙击中目标记为事件B,则P(A)=0.60.3=0.18, P(B)=0.40.7=0.28,P()=0.40.3=0.12,所以甲、乙至多一人
5、击中目标的概率为0.18+0.28+0.12=0.58.答案:0.589.将一枚均匀的硬币抛掷6次,则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为_.【解析】正面出现的次数比反面出现的次数多,则正面可以出现4次、5次或6次,所求概率P=6+6+6=.答案:10.甲乙两人进行围棋比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为pp,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.则p的值为_,设表示比赛停止时已比赛的局数,则随机变量的分布列.为_.【解析】依题意,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以有p2+(
6、1-p)2=.解得p=或p=.因为p,所以p=.依题意知,的所有可能值为2,4,6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(=2)=,P(=4)=1-=, P(=6)=1-1-1=.所以随机变量的分布列为:246P答案:246P (15分钟35分)1.(5分)质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.质检部门从中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件合格,检测即为良好
7、,则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为()A.B.C.D.【解析】选A.设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”,事件D表示“检测通过”,事件E表示“检测良好”,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=+=.所以P(E|D)=.2.(5分)一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球,其中黄球5个,蓝球4个,绿球3个.现从盒子中随机取出两个球,记事件A为“取出的两个球颜色不同”,事件B为“取出一个黄球,一个绿球”,则P(B|A)=()A. B.C.D.【解析】选D. 因为P=,P=,所以P=.【变式备选】袋中装有黑球和
8、白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率是,现在甲、乙两人从袋中轮流摸出1球,甲先取,乙后取,取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止,每个球每一次被取到的机会是等可能的,那么甲取到白球的概率是()A.B.C. D.【解析】选D.设白球有n个,=,n=3,所以P(甲取到白球)=+=.3.(5分)某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:他第3次击中目标的概率是0.9;他恰好击中目标3次的概率是0.930.1;他至少击中目标1次的概率是1-0.14.其中正确结论的序号是_.【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9,所以第3次
9、击中目标的概率是0.9,所以正确,因为连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响,所以本题是一个独立重复试验,根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是0.930.1,所以不正确,因为至少击中目标1次的概率用对立事件表示是1-0.14.所以正确.答案:4.(10分)一个通讯小组有两套设备,只要其中有一套设备能正常工作,就能进行通讯.每套设备由3个部件组成,只要其中有一个部件出故障,这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p,计算在这一时间段内.(1)恰有一套设备能正常工作的概率;(2)能进行通讯的概率.【解析】记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A,
10、“第二套通讯设备能正常工作”为事件B.由题意知P(A)=p3,P(B)=p3,P()=1-p3,P()=1-p3.(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6.(2)两套设备都不能正常工作的概率为P( )=P()P()=(1-p3)2.至少有一套设备能正常工作的概率,即能进行通讯的概率为1-P()=1-P()P()=1-(1-p3)2=2p3-p6.【变式备选】甲乙丙丁四个人做传球练习,球首先由甲传出,每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一,设Pn表示经过n次传递后球回到甲手中的概率,求:(1)P2的值;(2)Pn
11、(用n表示)的值.【解析】(1)经过一次传球后,落在乙丙丁手中的概率分別为,而落在甲手中概率为0,因此P1= 0,两次传球后球落在甲手中的概率为P2= +=.(2)要想经过n次传球后球落在甲的手中,那么在n-1次传球后球一定不在甲手中,所以Pn=(1-Pn-1), n=2,3,4,因此P3=(1-P2)= ,P4=(1-P3)= ,P5=(1-P4)= ,P6=(1-P5)= , 因为Pn=(1-Pn-1) ,所以Pn-=-Pn-1-,Pn-=P1-,所以Pn=-.5.(10分)(2020无锡模拟)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小
12、康.经过不懈奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加.为了更好地制定2020年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成频率分布直方图如图所示:(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示).(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(,2),其中近似为年平均收入,2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92.利用该正态分布,求:(i)在2020年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.15%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入
13、标准,则最低年收入大约为多少千元?(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入相互独立,问:这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?附:参考数据与公式2.63,XN(,2)则P(-X+)=0.683;P(-2X+2)=0.954;P(-3-)=+=0.841 5,所以-=17.40-2.63=14.77,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.(ii)由P(X12.14)=P(X-2)=0.5+=0.977,得每位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.977,记1 000位农民的年收入不少于12.14千元的人数为,则B(103,p),其中p=0.977,于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是P(=k)=pk(1-p,从而由=1,得k1 001p, 而1 001p=977.977,所以,当0k977时,P(=k-1)P(=k),由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是977.