1、A级基础巩固1.当x0时,f(x)=2xx2+1的最大值为()A.12 B.1 C.2 D.4答案:B2.若x0,则函数y=-x-1x()A.有最大值-2B.有最小值-2C.有最大值2D.有最小值2答案:A3.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园,这个矩形菜园的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆长度是()A.30 mB.36 mC.40 mD.50 m答案:C4.若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为22.5.(1)已知x0,y0,x+2y=8,求xy的最大值;(2)设x-1,求函数y=x+4x+1+6的最小值.解:(1)因为x0,y0,所以x+2y22xy,即822x
2、y,两边平方整理,得xy8,当且仅当x=4,y=2时,xy取得最大值8.(2)因为x-1,所以x+10.所以y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52(x+1)4x+1+5=9,当且仅当x+1=4x+1,即x=1时取等号,所以当x=1时,原函数有最小值9.B级能力提升6.若正实数x,y满足1x+4y=1,且x+y4a-3恒成立,则实数a的取值范围为a0,y0,所以4xy0,y4x0,所以4xy+y4x24xyy4x=2,当且仅当4xy=y4x,即4x=y时取等号,所以x+y44,所以a-34,解得a7.7.设a,b为正实数,且1a+1b=22.(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)2
3、4(ab)3,求ab的值.解:(1)由22=1a+1b21ab,得ab12,当且仅当a=b=22时取等号.故a2+b22ab1,当且仅当a=b=22时取等号.所以a2+b2的最小值是1,当且仅当a=b=22取得最小值.(2)由(a-b)24(ab)3,得(1a-1b)24ab,即(1a+1b)2-4ab4ab,从而ab+1ab2.又因为ab+1ab2,当且仅当ab=1时取等号,所以ab+1ab=2,所以ab=1.8.某市准备建一个综合性休闲广场,其示意图如图所示.已知矩形广场的总面积为2 000 m2,其中阴影部分为通道,通道的宽均为1 m,中间的两个小矩形完全相同.(1)用矩形的宽x(单位:
4、m)表示中间的三个矩形的总面积S(单位:m2)的函数解析式,并给出定义域;(2)当矩形的宽x为何值时,S取得最大值,并求出最大值.解:(1)因为矩形广场的总面积为2 000 m2,所以xy=2 000,即y=2 000x.因为2a+2=y,所以2a=y-2=2 000x-2,所以S=a(x-3)+a(x-2)=(2x-5)(1 000x-1)=2 005-(5 000x+2x),3x1 000.(2)S=2 005-(5 000x+2x)2 005-25 000x2x=1 805.当且仅当2x=5 000x,即x=50时,等号成立,此时S取得最大值1 805 m2.C级挑战创新9.多选题一个矩
5、形的周长为l,面积为S,其中可作为(l,S)的取值的实数对是()A.(4,1) B.(8,6)C.(10,8) D.3,12解析:依题意设矩形的长、宽分别为a,b,则有a+b=12l,ab=S,即l=2(a+b)4ab=4S,所以lS4.对于选项A,41=4;对于选项B,8684=4;对于选项C,108=524.因此,其中可作为(l,S)的取值的实数对是选项A和D.答案:AD10.多空题已知a0,b0,如果ab=1,那么a+b的最小值为2;如果a+b=1,那么ab的最大值为14.解析:因为a0,b0,所以a+b2ab,所以a+b2ab=2.故当ab=1时,a+b取得最小值2,此时a=b=1.因为当a+b=1时,aba+b2=12,所以ab14,此时a=b=12.
