1、(应用题中常见的几种数学模型）1应用题的数学模型是针对或参照应用特征或数量依存关系采用形式化的数学语言，概括或近似表达出来的一种数学结构，本节课结合实例介绍几种解应用题常用的数学模型。本课主要内容：一、函数模型在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定规律的，这些规律就是我们学过的函数。2基础上每上涨1元，其销售量就减少个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润。分析：利润=（零售价进货单价）销售量零售价5051 5253.50+x销售量5049 4847.50-x故有：设利润为 y元，零售价上涨x元=-x2+40 x+500即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润。最高利润
2、为900元。y=（50+x-40）（50-x）（其中 0 x50）例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出50个。如果零售价在50元的3二、方程模型许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组）就是最有效的工具。例2、批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算，批发价每购60支比零售60支少1元，现有班长小王来购买铅笔，若给全班每人买1支铅笔，则必须按零售价结算，需用m元(m为自然数)，但若多买10支，则可按批发价结算恰好也用m元，问该班共有多少名学生?所以该班共有50名同学。4例3、某县一中
3、计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。（1）设AD=x(x10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。数学应用题中一些最优化问题，往往需用不等式知识加以解决。三、不等式模型5三、不等式模型分析要求y与x的函数关系式，就是找出DE与AD的等量关系。（1）三角形ADE中角A为600故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。（2）6解：（I）ABC的边长为20米
4、，D在AB上，则10 x20。则在三角形ADE中，由余弦定理得：7若DE做为参观线路，须求y的最大值。令设(2)若DE做为输水管道，则需求y的最小值8当100t1t2200时，104t1t24104,t1t2-41040，又t1-t20,f(t1)f(t2)，则f(t)在100，200上是减函数。当200t1t2400时，4104t1t20，又t1-t20,f(t1)f(t2)，则f(t)在200，400上是增函数。当t=200，即当t=100或t=400即x=10或20时，故若DE是输水管道的位置，则需使若DE是参观线路，则需使x=10或209四、数列模型如果数学应用题中涉及的量，其变化带有
5、明显的离散性，那么所考查的很有可能就是数列模型。例 4、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的。根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8100万元可以达到小康水平。（1）若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？10分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。该乡从两个企
6、业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润四、数列模型年份97（n=1）98（n=2）99（n=3）2000（n=4）（第n年）甲企业乙企业总利润11略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。y=+当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温饱问题。（2）2005年时，n=9此时y=8201.25+28.9即2005年底该乡能达到小康水平。12五、几何模型把数学应用题翻译成数学中的几何问题，通过几何知识解决。13解:建立如图坐标系CAxy500 30006000B1200则C（3000，1200）故炮弹能越过障碍物。14数学应用题并不难，求解过程通常分三步：小结：1、阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义。2、根据各个量的关系,进行数学化设计，即建立目标函数，将实际问题转化为数学问题。3、进行标准化设计，即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决。（常用列表法，画图法等来帮助理解。）（通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的单调性等）15
