1、核心素养测评 二十一三角函数的图象与性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=tan 3x的定义域为()A.B.C.D.【解析】选D.由3x+k(kZ)得x+,kZ.2.(2019长沙模拟)函数f(x)=cos 2x+6cos的最大值为()A.4B.5C.6D.7【解析】选B.因为f(x)=cos 2x+6cos=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2+,又sin x-1,1,所以当sin x=1时,f(x)取得最大值5.3.已知函数f(x)=2sinx+是偶函数,则的值为()A.B.C.D.【解析】选B.因为f(x)为偶函数,所以+=k+(
2、kZ),又,所以+=,解得=,经检验符合题意.4.设函数f(x)=sin(2x+)(0)在x=时取得最大值,则函数g(x)=cos(2x+)的图象()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称【解析】选A.因为x=时,f(x)=sin(2x+)(00,0),f=,f=0且f(x)在(0,)上单调.下列说法正确的是()A.=B.f=C.函数f(x)在上单调递增D.函数y=f(x)的图象关于点对称【解析】选AC.由题意得函数f(x)的最小正周期为T=,因为f(x)在(0,)上单调,所以=,解得00),若f(x)f对任意的实数x都成立,则的最小值为_.【解析】由已知,当x=
3、时,f(x)取得最大值,由三角函数图象与性质,-=0+2k(kZ),即=+8k(kZ),又0,所以当k=0时,有最小值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020北京模拟)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+(xR).世纪金榜导学号(1)求f(x)的周期及单调增区间.(2)若x时,求f(x)的最大值与最小值.【解析】(1)f(x)=sin 2x-cos 2x=sin,所以f(x)的周期T=,由2k-2x-2k+,kZ得单调递增区间为,kZ.(2)0x-2x-,所以当x=0时,f(x)min=-;当x=时,f(x)max=1.10.(2019厦门模拟)已知函数f(
4、x)=Msin(x+)的图象与x轴的两个相邻交点是A(0,0),B(6,0),C是函数f(x)图象的一个最高点.a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边,满足(a+c)(sin C-sin A) =(a+b)sin B.世纪金榜导学号(1)求函数f(x)的解析式.(2)将函数f(x)的图象向左平移1个单位后,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.【解析】(1)由题意得sin =0,所以=0,=6,所以=,由正弦定理得(c+a)(c-a)=(a+b)b,整理得=-,即cos C=-,又C(0,),所以C=.在ABC中,易知AC=BC,所以
5、A=,取AB的中点D易得CD=,即M=,所以f(x)=sinx.(2)函数f(x)图象向左平移1个单位,得f(x+1)=sin,纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍,得g(x)=sin,由2k+2k+(kZ),解得4k+x4k+(kZ).所以g(x)的单调递减区间为(kZ).(15分钟35分)1.(5分)(2019广东六校联考)已知A是函数f(x)=sin+ cos的最大值,若存在实数x1,x2使得对任意实数x,总有f(x1)f(x)f(x2)成立,则A|x1-x2|的最小值为()A.B.C.D.【解析】选B.f(x)=sin+cos=sin 2 018x+cos 2 018x+cos 2 018
6、x+sin 2 018x=sin 2 018x+cos 2 018x=2sin,所以A=f(x)max=2,f(x)的最小正周期T=.又存在实数x1,x2使得对任意实数x,总有f(x1)f(x)f(x2)成立,所以f(x2)=f(x)max,f(x1)=f(x)min,所以A|x1-x2|的最小值为AT=.2.(5分)设函数f(x)=sin(x+)+cos(x+)的最小正周期为,且满足f(-x)=-f(x),则函数f(x)的单调递增区间为_.【解析】因为f(x)=sin(x+)+cos(x+)=2sin的最小正周期为,且满足f(-x)=-f(x),所以=2,=-,所以f(x)=2sin 2x,
7、令2x(kZ),解得函数f(x)的单调递增区间为(kZ).答案:(kZ)3.(5分)设函数f(x)=2sin(x+)0,|.又f=2,f=0,得=-=,所以T=3,则=3=,所以f(x)=2sin(x+)=2sin.由f=2sin=2sin=1,所以+=+2k,kZ.又|0)的最小正周期为.世纪金榜导学号(1)求函数f(x)的单调递减区间.(2)若f(x),求x的取值集合.【解析】(1)f(x)=cos2x+sin xcos x-=(1+cos 2x)+sin 2x-=cos 2x+sin 2x=sin.因为周期为=,所以=1,所以f(x)=sin.由+2k2x+2k,kZ,得+kx+k,kZ
8、,所以函数f(x)的单调递减区间为,kZ.(2)f(x),即sin,由正弦函数的性质得+2k2x+2k,kZ,解得-+kx-,若x,则2x,2x-,若2m-即m-,因为f(x)在-,m上的最大值为,所以y=sin(2x-)在-,m上的最大值为1,又因为当且仅当2x-=+2k,即x=+k(kZ)时,y=sin(2x-)=1.所以-,mx|x=+k(kZ),令+k-(kZ)得k-,即k=0,1,2,所以x=+0=-,m,即m,所以m的最小值为.【拓广探索练】1.函数y=|tan x|的单调递增区间为_,单调递减区间为_.【解析】作出函数y=|tan x|的图象,如图.观察图象可知,函数y=|tan x|的单调递增区间为,kZ;单调递减区间为,kZ.答案:,kZ,kZ2.(2019德州模拟)已知函数f(x)=sin(2x+)-cos(2x+)(-0)的图象关于点对称,记f(x)在区间上的最大值为n,且f(x)在m,n(mn)上单调递增,则实数m的最小值是_.世纪金榜导学号【解析】因为f(x)=sin(2x+)-cos(2x+)=2sin的图象关于点对称,所以f=2sin=0.又-0,所以+=0,即=-,f(x)=2sin.当x时,2x-,0f(x)2,即n=2,令-+2k2x-+2k(kZ),即-+kx+k(kZ),当k=2时,m,2,即实数m的最小值是.答案:
