1、核心素养测评三十五 合情推理与演绎推理(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020钦州模拟)平面内,圆有如下性质:“圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦”,由此类比可以得到空间中,球有如下性质()A.球心与弦(非直径)的中点连线垂直于弦B.球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆C.与球心距离相等的弦长相等D.与球心距离相等的小圆面积相等【解析】选B.圆心对应球心,弦对应小圆,弦中点对应小圆圆心,根据类比推理则有:球心与该球小圆圆心的连线垂直于小圆.2.设三角形ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,内切圆半径为r,则r=;类比这个结论可知:若四面体S-ABC的四个面的面积分
2、别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体S-ABC的体积为V,则r等于()A.B.C.D.【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则V=VO-ABC+VO-SAB+VO-SAC+VO-SBC,即V=S1r+S2r+S3r+S4r,所以r=.3.(2019安庆模拟)某中学在高二下学期开设四门数学选修课,分别为数学史选讲球面上的几何对称与群矩阵与变换.现有甲、乙、丙、丁四位同学从这四门选修课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同,下面关于他们选课的一些信息:甲同学和丙同学均不选球面上的几何,也不选对称与群:乙同学不选对称与群,也不选数学史选讲:如果甲同学不选数学史选讲,那么丁同
3、学就不选对称与群.若这些信息都是正确的,则丙同学选修的课程是()A.数学史选讲B.球面上的几何C.对称与群D.矩阵与变换【解析】选D.由信息可得,甲、丙选择矩阵与变换和数学史选讲;由信息可得,乙选择矩阵与变换或球面上的几何.第一种可能:当甲选择矩阵与变换时,则丙选择数学史选讲,乙选择球面上的几何,丁选择对称与群,与信息矛盾,不合题意;第二种可能:当甲选择数学史选讲时,则丙选择矩阵与变换,乙选择球面上的几何,丁选择对称与群,符合题意.综上可得丙同学选修的课程是矩阵与变换.【变式备选】在一次数学单元测验中,甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下,甲:我没考满分;乙:丙考了满
4、分;丙:丁考了满分;丁:我没考满分,其中只有一名考生说的是真话,则考得满分的考生是()A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】选A.若甲考满分,则甲、乙、丙说的都是假话,丁说的是真话,符合题意;若乙考满分,则乙、丙说的是假话,甲和丁说的是真话,不合题意;若丙考满分,则甲、乙、丁说的都是真话,丙说的是假话,不合题意;若丁考满分,则甲、丙说的真话,乙、丁说的假话,不合题意.综上,甲考满分.4.我国的刺绣有着悠久的历史,如图所示的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正
5、方形,则f(n)的表达式为()A.f(n)=2n-1B.f(n)=2n2C.f(n)=2n2-2nD.f(n)=2n2-2n+1【解析】选D. 我们考虑f(2)-f(1)=4,f(3)-f(2)=8,f(4)-f(3)=12,结合图形不难得到f(n)-f(n-1)=4(n-1),累加得f(n)-f(1)=2n(n-1)=2n2-2n,故f(n)=2n2-2n+1.5.(2020泸州模拟)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,.其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,以此类推,记此数列为an,则a2 019=()A.1B.2C
6、.4D.8【解析】选C.将所给的数列分组:第1组为20,第2组为20,21,第三组为:20,21,22,则数列的前n组共有项,由于=2 016,故数列的前63组共有2 016项,数列的第2 017项为20,数列的第2 018项为21,数列的第2 019项为22,所以a2 019=4.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019丰台模拟)已知数列an的通项an=2n-1,把an中的各项按照一定的顺序排列成如图所示的三角形数阵. 135791113151719 (1)数阵中第5行所有项的和为_.(2)2 019是数阵中第i行的第j列,则i+j=_.【解析】(1)21+23+25+27+29=1
7、25.(2)2n-1=2 019,n=1 010,1+2+3+44=990,故i=44+1=45,j=1 010-990=20,i+j=65.答案:(1)125(2)657.(2020孝感模拟)二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=r3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8r3,则其四维测度W=_.【解析】二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,(r2)=2r,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=r3,=4r2,四维空间中,“
8、超球”的三维测度V=8r3,因为(2r4)=8r3,所以“超球”的四维测度W=2r4.答案:2r48.(2020佛山模拟)我国古代数学名著九章算术记载:“勾股各自乘,并之,为弦实”,用符号表示为a2+b2=c2(a,b,cN*),把a,b,c叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41,以此类推,可猜测第5组勾股数的第二个数是_.【解析】由前四组勾股数可得第五组的第一个数为11,第二、三个数为相邻的两个整数,可设为x,x+1,所以(x+1)2=112+x2,即x=60,所以第5组勾股数的三个数依次是11,60,61.答案:60(15分钟25分)1.
9、(5分)图是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图是第1代“勾股树”,重复图的作法,得到图为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为()A.nB.n2C.n-1D.n+1【解析】选D.最大的正方形面积为1,当n=1时,由勾股定理知正方形面积的和为2,依次类推,可得所有正方形面积的和为n+1.2.(5分)如图所示椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A.B.C.-1D.+1【解析】选A.
10、设“黄金双曲线”方程为-=1(a0,b0),则B(0,b),F(-c,0),A(a,0).在“黄金双曲线”中因为,所以=0.又=(c,b),=(-a,b).所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac.在等号两边同除以a2,得e=(负值舍去).3.(5分)(2020清华附中模拟)地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下:安全出口编号A,BB,CC,DD,EA,E疏散乘客时间(s)120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是()A.AB.BC.DD.E【解析】选C.同时开放A、E两个
11、安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为200 s,同时开放D、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为140 s,得到D疏散乘客比A快;同时开放A、E两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为200 s,同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s,得到B疏散乘客比E快;同时开放A、B两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为120 s,同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s,得到A疏散乘客比C快;同时开放B、C两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间为220 s,同时开放C、D两个安全出口,疏散1 000名乘客
12、所需的时间为160 s,得到D疏散乘客比B快.综上,疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D.4.(10分)(2019龙岩模拟)已知函数f(x)=,g(x)=(其中a0,且a1),(1)若f(1)g(2)+f(2)g(1)=g(k),求实数k的值.(2)能否从(1)的结论中获得启示,猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.【解析】(1)f(1)g(2)+f(2)g(1)=+=+=g(3),因为函数g(x)是单调函数,所以k=3.(2)由g(3)=g(1+2)=f(1)g(2)+f(2)g(1),猜想:g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x).证明:f(x)g(y)+f(y)g(x)=+=+=g(x+y),所以g(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x).