1、核心素养测评 五十六圆锥曲线中的定值与定点问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若动圆C的圆心在抛物线y2=4x上,且与直线l:x=-1相切,则动圆C必过一个定点,该定点坐标为()A.(1,0)B.(2,0)C.(0,1)D.(0,2) 【解析】选A.由题得,圆心在y2=4x上,它到直线l的距离为圆的半径,l为y2=4x的准线,由抛物线的定义可知,圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离,故动圆C必过的定点为抛物线焦点,即点(1,0).2.如图,过抛物线y2=4x焦点F的直线依次交抛物线与圆(x-1)2+y2=1于A,B,C,D,则|AB|CD|=()A.4B.2C.1D
2、.【解析】选C.抛物线焦点为F(1,0),|AB|=|AF|-1=xA,|CD|=|DF|-1=xD,于是|AB|CD|=xAxD=1.3.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2=,则直线l过定点()A.(-3,0)B.(0,-3)C.(3,0)D.(0,3)【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为k1k2=,所以=.又=2x1,=2x2,所以y1y2=6.设直线l:x=my+b,代入抛物线C:y2=2x得y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b=6,得b=-3,即直线l的方程为x=my-3,所以直线
3、l过定点(-3,0).4.(多选)如图,已知椭圆C1:+y2=1,过抛物线C2:x2=4y的焦点F的直线交抛物线于M,N两点,连接NO,MO并延长分别交C1于A,B两点,连接AB,OMN与OAB的面积分别记为SO M N,SOAB.则在下列说法中,正确的是()A.若记直线NO,MO的斜率分别为k1,k2,则k1k2的大小是定值为-B.OAB的面积SOAB是定值1C.线段OA,OB长度的平方和|OA|2+|OB|2是定值5D.设=,则2【解析】选ABCD. F(0,1),设直线MN的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2).联立方程组消元得:x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4
4、k,x1x2=-4,所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=1,所以k1k2=-,故A正确;设直线OA的方程为y=mx(m0),则直线OB的方程为y=-x,联立方程组解得x2=,不妨设A在第三象限,则A,用-替换m可得B,所以A到OB的距离d=,又|OB|=,所以SOAB=|OB|d=1,故B正确;又|OA|2=+=,|OB|2=,所以|OA|2+|OB|2=5,故C正确;联立方程组可得x(x-4m)=0,故N(4m,4m2),所以|ON|=4m,-替换m可得M,所以M到直线OA的距离h=,所以SO M N=|ON|h=2m=2m+2,当且仅当2m=即m
5、=时取等号.所以=SOMN2,故D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知曲线P上的点到(2,0)的距离比到直线x=-5的距离小3,直线l1与曲线P交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,点P(x3,y3),Q(x4,y4)在曲线P上,若x1,x2,x3,x4均不相等,且kMP=-kNQ,则kMN+kNP+kPQ+kQM=_.世纪金榜导学号【解析】因为曲线P上的点到(2,0)的距离比到直线x=-5的距离小3,所以曲线P上的点到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等,故曲线P:y2=8x,则kMN=,同理可得kNP=,kPQ=,kQM=,kMP=,kNQ=,由于kMP=-kNQ,
6、则=-,可得y1+y2+y3+y4=0,由此可得=-,即kQM=-kNP,同理有=-,即kMN=-kPQ,故kMN+kNP+kPQ+kQM=0.答案:06.(2020西安模拟)已知点A在抛物线C:y2=2px(p0)的准线上,则抛物线C的方程为_;若点M、N在抛物线C上,且位于x轴的两侧,O是坐标原点,若=3,动直线MN过定点,定点的坐标是_.【解析】点A在抛物线C:y2=2px(p0)的准线上,可得=,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=2x;设直线MN的方程为ty=x-m.M(x1,y1),N(x2,y2).联立化为:y2-2ty-2m=0,所以y1+y2=2t,y1y2=-2m,因为=
7、3,所以3=y1y2+x1x2=y1y2+(ty1+m)(ty2+m)=(1+t2)y1y2+mt(y1+y2)+m2,所以3=-2m(1+t2)+2mt2+m2,解得m=3或-1(舍去),所以ty=x-3,经过定点(3,0).答案:y2=2x(3,0)三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2020北京模拟)已知椭圆C:+y2=1(a1)的离心率为.世纪金榜导学号(1)求椭圆C的方程.(2)设直线l过点M(1,0)且与椭圆C相交于A,B两点.过点A作直线x=3的垂线,垂足为D.证明直线BD过x轴上的定点.【解析】(1)由题意可得, 解得a=,b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1 .(2)直
8、线BD恒过x轴上的定点(2,0).证明如下:当直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设A,B,D.此时,直线BD的方程为:y=(x-2),所以直线BD过定点(2,0).当直线l的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),D(3,y1).由,得:(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=,x1x2=.(*)直线BD的方程为:y-y1=(x-3),只需证明直线BD过点(2,0)即可.令y=0,得x-3=-,所以x=即证=2,即证2-x1x2=3.将(*)代入可得2-x1x2=-=3.所以直线BD过点(2,0),综上所述,直线BD
9、恒过x轴上的定点(2,0).8.已知椭圆C1:+=1(ab0)的离心率为,椭圆C2:+=1(ab0)经过点.世纪金榜导学号(1)求椭圆C1的标准方程.(2)设点M是椭圆C1上的任意一点,射线MO与椭圆C2交于点N,过点M的直线l与椭圆C1有且只有一个公共点,直线l与椭圆C2交于A,B两个相异点,证明:NAB的面积为定值.【解析】(1)因为C1的离心率为,所以=1-,解得a2=3b2.将点代入+=1,整理得+=1.联立,得a2=1,b2=,故椭圆C1的标准方程为x2+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,点M为或,由对称性不妨取M,由(1)知椭圆C2的方程为+y2=1,所以有N.将x=1代入椭圆C2的方程得y=,所以SNAB= =+.当直线l的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,将y=kx+m代入椭圆C1的方程得x2+6kmx+3m2-1=0,由题意得=-4=0,整理得3m2=1+3k2.将y=kx+m代入椭圆C2的方程,得x2+6kmx+3m2-3=0.设A,B,则x1+x2=-,x1x2=,所以=.设M,N,=,则可得x3=-x0,y3=-y0.因为 ,所以 ,解得=(=-舍去),所以=,从而=.又因为点O到直线l的距离为d=,所以点N到直线l的距离为d=所以SNAB=d= =+.综上,NAB的面积为定值+.
