1、规律探索型问题一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1观察下列等式： 根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）A0B1C7D8【答案】A【解析】个位数4个数一循环， ，的结果的个位数字是：0故选A2我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10）和“正方形数”（如1，4，9，16），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（）A33B301C386D571【答案】C【解析】由图形知第n个三角形数为1+2+3+n=，第n个正方形数为n2，当n=19时，
2、=190200，当n=20时，=210200，所以最大的三角形数m=190；当n=14时，n2=196200，当n=15时，n2=225200，所以最大的正方形数n=196，则m+n=386，故选C3已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数依此类推，那么的值是（）A-7.5B7.5C5.5D-5.5【答案】A【解析】，这个数列以-2，依次循环，且，故选：A4如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）ABCD【答案】C【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为1
3、0，符合此要求的只有：故选C5将正整数1至2018按一定规律排列如下表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（）A2019B2018C2016D2013【答案】D【解析】设中间数为x，则另外两个数分别为x1、x+1，三个数之和为（x1）+x+（x+1）=3x，根据题意得：3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013，解得：x=673或x=672（舍去）或x=672或x=671，673=848+1，2019不合题意，舍去；672=848，2016不合题意，舍去；671=837+7，三个数之和为2013，故选D6下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转9
4、0得到，第2019个图案中箭头的指向是( )A上方B右方C下方D左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，201945043，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方，故选C.7观察等式：；已知按一定规律排列的一组数：、若，用含的式子表示这组数的和是（ ）ABCD【答案】C【解析】2502512522992100a2a22a250aa(222250)a，2222502512，2502512522992100a(222250)aa(2512)aa(2 a2)a2a2a ，故选C.二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）9观察下列图中所示的一系列图形，
5、它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_个【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中的个数为：，第2个图象中的个数为：，第3个图象中的个数为：，第4个图象中的个数为：，第2019个图形中共有：个，故答案为：605810将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵则第20行第19个数是_【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，则前20行的数字有：1+2+3+19+20=210个数，第20行第20个数是：1+3（210-1）=628，第20行第19个数是：628-3=625，故答案为：62511数轴上两点的距离为4，一动点从点
6、出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为_（，是整数）【答案】【解析】由于OA=4，所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=4=2，同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）24处，同理跳动n次后，离原点的长度为（）n4=，故线段AnA的长度为4-（n3，n是整数）故答案为4-12如图，在中，过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；按照上面的作法进行下去，则的面积为_（用含正整数n的代数式表示）【答
7、案】【解析】由等腰三角形的性质得出，由含30角直角三角形的性质得出，解：，同理，同理，同理，故答案为：三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13观察以下等式:第1个等式:，第2个等式:，第3个等式:，第4个等式:，第5个等式:，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式： ；（2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明.【答案】（1）；（2），见解析.【解析】解：（1）第6个等式：（2）证明：右边左边.等式成立14（阅读理解）用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案已知长度为、的所有图案如下：（尝试操作）(1)
8、如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案（归纳发现）(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整图案的长度所有不同图案的个数 【答案】(1)见解析；(2)，.【解析】 (1)如图：根据作图可知时，所有图案个数个；(2)时，如图所示，所有图案个数个；同理，时，所有图案个数个，故答案为，.15问题提出：如图，图是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图是一张 a b 的方格纸（a b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a b个边长为 1 的小正方形，其中 a2 ， b2，且 a，b 为正整数） 把图放置在图中，使它恰好盖住图中的三个
9、小正方形，共有多少种不同的放置方法？ 问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论探究一：把图放置在 2 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，对于 22的方格纸，要用图盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法探究二：把图放置在 32的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在 32的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 2方格，依据探究一的结论可知，把图放置在 32 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 48种不同的放置方法
10、探究三：把图放置在 a 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图， 在 a 2 的方格纸中，共可以找到_个位置不同的 22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在 a 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_种不同的放置方法 探究四：把图放置在 a 3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图，在 a 3 的方格纸中，共可以找到_个位置不同的 22方格，依据探究一的结论可知，把图放置在 a 3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_种不同的放置方法问题解决：把图放置在 a b的方格纸中，使它恰好盖住
11、其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图）问题拓展：如图，图是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a2 ， b2 ， c2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了abc个棱长为 1 的小立方体在图的不同位置共可以找到_个图这样的几何体【答案】探究三：， ；探究四：， ；问题解决：共有种不同的放置方法；问题拓展：8(a-1)(b-1)(c-1).【解析】探究三：根据探究二，a2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的22方格，根据探究一结论可知，每个22方格中有4种放置方法，所以
12、在a2的方格纸中，共可以找到（a-1）4=（4a-4）种不同的放置方法；故答案为a-1，4a-4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a-1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，所以在a3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）个位置不同的22方格，根据探究一，在在a3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a-2）4=（8a-8）种不同的放置方法故答案为2a-2，8a-8；问题解决：在ab的方格纸中，共可以找到（a-1）（b-1）个位置不同的22方格，依照探究一的结论可知，把图放置在ab的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）条边长为2的线段，所以在abc的长方体共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的222的正方体，再根据探究一类比发现，每个222的正方体有8种放置方法，所以在abc的长方体中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）个图这样的几何体；故答案为8（a-1）（b-1）（c-1）