1、22.2 向量减法运算及其几何意义内 容 标 准学 科 素 养1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意义.3.能熟练地进行向量的加、减运算.提升数学运算应用直观想象授课提示：对应学生用书第 49 页基础认识知识点一 相反向量阅读教材 P8586，思考并完成以下问题实数 a 的相反数为a，向量 a 有相反向量吗？(1)有向线段AB表示向量 a，那么BA表示的向量与 a 有什么关系？如何表示？提示：模相等，方向相反，故BAa.(2)(a)_提示：a.知识梳理 定义如果两个向量长度相等，而方向相反那么称这两个向量是相反向量性质对于相反向量有：a(a)0若 a，b 互
2、为相反向量，则 ab，ab0零向量的相反向量仍是零向量知识点二 向量的减法思考并完成以下问题减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否有类似的法则？(1)如图，设ACa，ABb，反向延长 AB 到 D 点，使 ABAD，则AD _提示：b.(2)在ACED 中，AE_提示：AEACAD a(b)ab.(3)BC与AE有什么关系？提示：由于 ABCE 为平行四边形，BCAEa(b)ab.知识梳理(1)定义：aba(b)减去一个向量就等于加上这个向量的相反向量(2)几何意义：ab 表示为从向量 b 的终点指向 a 的向量知识点三|a|b|，|ab|，|a|b|三者的关系思考并完成以下问题在三
3、角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|b|，|ab|，|a|b|三者关系是怎样的？(1)当向量 a，b 不共线时，作OA a，ABb，则 abOB，如图(1)，根据三角形的三边关系，则有_提示：|a|b|ab|b|.作法同上，如图(3)，此时|ab|_故对于任意向量 a，b，总有_因为|ab|a(b)|，所以|a|b|ab|a|b|，即_提示：|a|b|a|b|ab|a|b|a|b|ab|a|b|知识梳理 对于任意向量|a|b|ab|a|b|.思考 如图，ABa，AD b，以 AB、AD 为邻边作平行四边形 ABCD，则对角线所对应的向量A
4、C、DB 是什么？提示：ACab，DB ab.自我检测1下列各式中，恒成立的是()A.ABBA Baa0C.ABACBCD.ABCBCA0答案：D2若菱形 ABCD 的边长为 2，则|ABCBCD|_答案：2授课提示：对应学生用书第 50 页探究一 向量减法的几何作图教材 P86 例 3方法步骤：(1)取点 O；(2)作向量；(3)连终点例 1 如图，已知向量 a，b，c，求作向量 abc.解析 如图所示，以 A 为起点分别作向量AB和AC，使ABa，ACb.连接 CB，得向量CBab，再以 C 为起点作向量CD，使CD c，连接 DB，得向量DB(ab)c.则向量DB 即为所求作的向量 ab
5、c.方法技巧 求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量跟踪探究 1.如图，已知向量 a，b，c 不共线，求作向量 abc.解析：如图，在平面内任取一点 O，作OA a，OB b，则BAab.再作CAc，则BCabc.探究二 向量减法法则的应用教材 P91A 组第 4 题化简：ABAD DC.解析：ABAD DC DB DC CB.例 2 化简下列式子：(1)NQ PQ NM MP；(2)(ABCD)(ACBD)解析(1)原式NPMN MP NPPNNPNP0.(
6、2)原式ABCD ACBD(ABAC)(DC DB)CBBC0.方法技巧 进行向量的加减运算时，常用的变形如下(1)运用ABBA化减为加；(2)运用ABBA0 或ABBCAC化繁为简；(3)运用ABOB OA 转化为共起点的两个向量的差跟踪探究 2.化简：(1)(BABC)(ED EC)；(2)(ACBO OA)(DC DO OB)解析：(1)(BABC)(ED EC)CACD DA.(2)(ACBO OA)(DC DO OB)ACBADC(DO OB)ACBADC DBBCDC DB BCCD DBBCCB0.探究三 向量加减法的应用教材 P86 例 4方法步骤：作图，利用法则求和或求差例
7、3 如图所示，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且ABa，ACb，AEc，试用向量 a，b，c 表示向量BD，BC，BE，CD 及CE.解析 四边形 ACDE 是平行四边形，CD AEc，BCACABba，BEAEABca，CEAEACcb，BD BCCD bac.方法技巧 用向量表示其他向量的方法(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则(2)表示向量时要考虑以下问题：它是某个平行四边形的对角线吗？是否可以找到由起点到终点的恰当途径？它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点？(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则跟踪探究
8、3.如图所示，解答下列各题：(1)用 a，d，e 表示DB；(2)用 b，c 表示DB；(3)用 a，b，e 表示EC；(4)用 c，d 表示EC.解析：(1)DB DE EAABdeaade.(2)DB CBCD BCCD bc.(3)ECEAABBCabe.(4)ECCE(CD DE)cd.授课提示：对应学生用书第 51 页课后小结1在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”解题时要结合图形，准确判断，防止混淆2向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点
9、素养培优1利用三角形法则求向量模的范围典例 已知|AB|6，|AD|9，求|BD|的范围解析 BD AD AB，|BD|AD AB|.|AD|AB|AD AB|AD|AB|，|69|BD|6915.即|BD|的范围为3，152利用平行四边形法则判断图形典例 在平行四边形 ABCD 中，ABa，AD b，先用 a，b 表示向量AC和DB，并回答：当 a，b 分别满足什么条件时，四边形 ABCD 为矩形、菱形、正方形？解析 由向量加、减法的平行四边形法则，得ACab，DB ABAD ab.当 a，b 满足|ab|ab|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形 ABCD 为矩形；当 a，b 满足|a|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形 ABCD 为菱形；当 a，b 满足|ab|ab|且|a|b|时，四边形 ABCD 为正方形.
