1、易错考点排查练立 体 几 何1.和是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面和平行的是()A.和都垂直于平面B.内不共线的三点到的距离相等C.l,m是平面内的直线且l,mD.l,m是两条异面直线且l,m,m,l【解析】选D.对于A,可平行也可相交;对于B三个点可在平面同侧或异侧,对于C,l,m在平面内可平行,可相交.对于D正确证明如下:过直线l,m分别作平面与平面,相交,设交线分别为l1,m1与l2,m2,由已知l,l得ll1,ll2,从而l1l2,则l1,同理m1,所以.2.给出下列命题:有一条侧棱与底面两边垂直的棱柱是直棱柱;底面为正多边形的棱柱为正棱柱;顶点在底面上的射影到底面各顶点的距
2、离相等的棱锥是正棱锥;A,B为球面上相异的两点,则通过A,B的大圆有且只有一个.其中正确说法的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选A.若侧棱与底面两条平行的两边垂直,则侧棱与底面不一定垂直,此时的棱柱不一定是直棱柱,故错误;底面为正多边形的直棱柱为正棱柱,故错误;顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的棱锥,表示顶点在底面的射影落在底面的外心上,不一定是正棱锥,故错误;当A,B为球的直径的两个端点时,通过A,B的大圆有无数个,故错误.3.如图,在下列四个正方体中,P,R,Q,M,N,G,H为所在棱的中点,则在这四个正方体中,阴影平面与P,R,Q所在平面平行的是()【解析】选A
3、.A中,因为PQACA1C1,所以可得PQ平面A1BC1,又RQA1B,可得RQ平面A1BC1,从而平面PQR平面A1BC1;B中,作截面可得P,Q,R所在平面平面A1BN=HN(H为C1D1中点),如图C中,作截面可得P,Q,R所在平面平面HGN=HN(H为C1D1中点),如图:D中,作截面可得QN,C1M为两条相交直线,因此P,Q,R所在平面与平面A1MC1不平行,如图:4.已知m,n是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()A.若m,m,n,n,则B.若mn,m,n,则C.若mn,m,n,则D.若mn,m,n,则【解析】选B.A选项,若m,m,n,n,则或与相交,故A错
4、;B选项,若mn,m,则n,又n,是两个不重合的平面,则,故B正确;C选项,若mn,m,则n或n或n与相交,又n,是两个不重合的平面,则或与相交;故C错;D选项,若mn,m,n,是两个不重合的平面,则或与相交,故D错.5.如图,是棱长为1的正方体的平面展开图,则在这个正方体中,以下结论正确的是()A.点A到EF的距离为B.三棱锥C-DMN的体积是C.EF与平面CDN所成的角是45D.EF与MN所成的角是60【解析】选D.根据正方体的平面展开图,画出它的立体图形如图所示,对于A,连接ND,与EF交于O点,连接AO,则AO的长即点A到EF的距离,AO=,故A错误;对于B,三棱锥C-DMN的体积是=
5、,故B错误;对于C,F点到平面CDN的距离为,所以EF与平面CDN所成的角的正弦值为=,故C错误;对于D,EF与MN所成的角即MC与MN所成的角,显然是60.6.有一个球的内接圆锥,其底面圆周和顶点均在球面上,且底面积为3.已知球的半径R=2,则此圆锥的侧面积为()A.2B.6C.6或2D.4【解析】选C.圆锥CAB,D是底面圆心,O为球心, r2=3,所以r=,(1)如图,OD=1=CD,D在OC上,所以CB=2,S侧=2rCB=2.(2)如图,OD=1,所以CD=OC+OD=2+1=3,所以S侧=2rCB=22=6.7.已知直线l平面,直线m平面,则下列四个命题正确的是()lm;lm;lm
6、;lm.A.B.C.D.【解析】选D.因为直线l平面,直线m平面,若,则l平面,则有lm,正确;如图,由图可知不正确;因为直线l平面,lm,所以m平面,又m平面,所以,所以正确;由图可知不正确;所以正确的命题为.8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=,点P 在平面ABCD上,且动点P 到直线A1D1的距离的平方与点P 到点M的距离的平方的差为1,在以AB,AD为坐标轴的平面直角坐标系中,动点P的轨迹是()A.圆B.抛物线C.双曲线D.直线【解析】选B.如图所示:正方体ABCD-A1B1C1D1中,作PQAD,Q为垂足,则PQ面ADD1A1,过点Q作QRD1A1
7、,则D1A1面PQR,PR即为点P到直线A1D1的距离,由题意可得PR2-PQ2=RQ2=1.又已知PR2-PM2=1,所以PM=PQ,即P 到点M的距离等于P到AD的距离,根据抛物线的定义可得,点P 的轨迹是抛物线.9.点A、B在以PC为直径的球O的表面上,且ABBC,AB=2,BC=4,若球O的表面积是24,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.设球O的半径为R,则4R2=24,故R=,如图所示:分别取PA,AB,BC的中点M,N,E,连接MN,NE,ME,AE,易知,PA平面ABC,由于ABBC,所以AC=2,所以PA=2,因为E为BC的中点,则AE=2,
8、由于M,N分别为PA,AB的中点,则MNPB,且MN=,同理NEAC,且NE=AC=,所以,异面直线PB和AC所成角为MNE或其补角,且ME=3,在MNE中,MN=,NE=,ME=3,由余弦定理得: cosMNE=-,因此异面直线PB和AC所成角的余弦值为.10.在四面体P-ABC中,ABC是边长为3的等边三角形,PA=3,PB=4,PC=5,则四面体P-ABC的体积为()A.3B.2C.D.【解析】选C.如图,延长CA至D,使得AD=3,连接DB,PD,因为AD=AB=3,故ADB为等腰三角形,又DAB=180-CAB=120,故ADB=30,所以ADB+DCB=90即DBC=90,故CBD
9、B,因为PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CBPB,因DBPB=B,DB平面PBD,PB平面PBD,所以CB平面PBD,所以V三棱锥P-CBD=V三棱锥C-PBD=CBSPBD,因A为DC的中点,所以V三棱锥P-ABC=V三棱锥P-CBD=3SPBD=SPBD,因为DA=AC=AP=3,故PDC为直角三角形,所以PD=,又DB=AD=3,而PB=4,故DB2=PD2+PB2,即PBD为直角三角形,所以SPBD=4=2,所以V三棱锥P-ABC=.11.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ
10、不垂直的是世纪金榜导学号()【解析】选D.对于A,AB为体对角线,M,N,Q分别为棱的中点,由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线,连接另一条面对角线,由线面垂直的判定可得AB垂直于MN,MQ,NQ,可得AB垂直于平面MNQ;对于B,AB为上底面的对角线,显然AB垂直于MN,与AB相对的下底面的面对角线平行,且与直线NQ垂直,可得AB垂直于平面MNQ;对于C,AB为前面的面对角线,显然AB垂直于MN,QN在下底面且垂直于AB所在的面,即有AB垂直于QN,可得AB垂直于平面MNQ;对于D,AB为上底面的对角线,MN平行于前面的一条对角线,此对角线与AB所成角为60,则AB不垂直于平面MNQ.
11、12.如图,在RtABC中,AC=1,BC=x(x0),D是斜边AB的中点,将BCD沿直线CD翻折,若在翻折过程中存在某个位置,使得CBAD,则x的取值范围是世纪金榜导学号()A.(0,B.C.,2D.(2,4【解析】选A.取BC的中点E,翻折前如图1,连接DE,则DE=AC=,又BC=x,所以AD=CD=BD=.翻折后,在图2中,BCAD的位置时,连接AE,由题意可得BCDE,所以BC平面ADE,所以BCAE,又E为BC的中点,所以AB=AC=1,所以AE=.在ADE中,有AD+DEAE,AE+DEAD,即+,+,其中x0,解得0x.如图3,当翻折到B1CD与ACD在一个平面内时,若ADB1
12、C,则AD与B1C相交,即B1CD+CDA=90.因为CD=BD=B1D,所以CBD=BCD=B1CD.又CDA=CBD+BCD,即CBD+BCD+B1CD=90,所以CBD=BCD=B1CD=30,所以BAC=60.在RtABC中,BC=ACtan 60=1=,即x=,综上可得x(0,.13.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是.【解析】在RtBC1C中,BC=1,C1C=BC1=,由于三棱柱ABC-A1B1C1为正棱柱,底面ABC与侧面垂直,所以正三角形ABC中AC边的高即为B到侧面ACC1A1的距离,点B到平面ACC
13、1A1的距离为,所以sin =,=30.答案:3014.直二面角-l-的棱l上有一点A,在平面,内各有一条射线AB,AC与l成45角,AB,AC,则BAC=.【解析】如图,在l上取D,设DBAD,DCAD,则因为二面角是直二面角,所以CDDB,设AD=1,则DC=DB=1,AB=AC=BC=,所以ABC是等边三角形,所以BAC=60,如果在B位置,则BAC=180-60=120.答案:60或12015.已知a,b为异面直线,且所成的角为70,过空间一点作直线l,直线l与a,b均异面,且所成的角均为50,则满足条件的直线共有 条.世纪金榜导学号【解析】在空间取一点P,经过点P分别作aa,bb,设
14、直线a,b确定平面,当直线PM满足它的射影PQ在a,b所成角的平分线上时,PM与a所成的角等于PM与b所成的角.因为直线a,b所成的角为70,得a、b所成锐角等于70.所以当PM的射影PQ在a、b所成锐角的平分线上时,PM与a、b所成角的范围是35,90).这种情况下,过点P有两条直线与a,b所成的角都是50.当PM的射影PQ在a,b所成钝角的平分线上时,PM与a,b所成角的范围是55,90).这种情况下,过点P有0条直线与a,b所成的角都是50.综上所述,过空间任意一点P可作与a,b所成的角都是50的直线有2条.答案:216.已知点P在直径为2的球面上,过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA,
15、PB,PC,若PA=PB,则PA+PB+PC的最大值为.世纪金榜导学号【解析】由于PA,PB,PC是直径为2的球的三条两两相互垂直的弦,则PA2+PB2+PC2=2PA2+PC2=22,所以+=1,设PA=cos,PC=2sin ,所以PA+PB+PC=2PA+PC=2cos +2sin =2sin,其中为锐角且tan =,所以,PA+PB+PC的最大值为2.答案:2给易错点找题号序号易错点题号练后感悟1忽略线段反向延长线的情形致错.142空间思维较弱,翻折问题的性质没掌握透彻致错.123忽略异面直线所成角的范围致错.94凭主观感受、主观认识,使得线段BC1的射影没找正确致错.135平面与空间性质混淆,易错选D.86性质定理的条件和结论掌握不牢致错.77审题不清,解题思路受阻.168体积、表面积公式记忆不准致错.109情况讨论不全致错.610空间想象合成正方体时,各个点的相对位置不清楚致错.511与两异面直线构成同角的直线的分布情形讨论不到位致错.1512截面交线做法掌握不牢致错.313对几何体的概念、性质理解不透致错.214空间想象能力不足,造成线面垂直判断失误.1115往往只考虑距离相等,不考虑三点在平面两侧.116忽视定理成立的条件致错.4