1、第2课时椭圆标准方程及性质的应用内容标准学科素养1.通过椭圆与方程的学习，进一步体会数形结合思想2.了解椭圆的简单应用3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题.利用直观想象发展逻辑推理提高数学运算授课提示：对应学生用书第29页基础认识知识点一点与椭圆的位置关系点与圆的位置关系有几种？如何判断？提示：三种已知点P(x0，y0)，圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)点P在圆上(x0a)2(y0b)2r2，点P在圆内(x0a)2(y0b)2r2.判断下列各点与椭圆1的位置关系P1；P2；P3(1,2)；P4.提示：直线x1与椭圆的交点为，点P1在椭圆上，P2、P4在椭圆内，P3在椭
2、圆外，如图所示 知识梳理点P(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点P在椭圆上1；点P在椭圆内部1.知识点二直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系是怎样判断的？提示：几何方法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.则dr直线与圆相离代数方法：直线方程与圆的方程联立方程组：0相交， 0相切， b0)的位置关系：联立消y得一个关于x的一元二次方程位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解0，得3m3.当这组直线在y轴上的截距的取值范围是(3，3)时，直线与椭圆相交(2)设直线与椭圆相交得到线段AB，并设线段AB的中点为M(x，y)，则x.因为点M在直线yxm上，与x联立消去m，得3x
3、2y0.这说明点M的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦(不包括端点)，因此这些弦的中点在一条直线上例1(1)已知直线l过点(3，1)，且椭圆C：1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A1B1或2C2 D0解析因为直线过定点(3，1)且b0)，所以依题意有c，a3，所以b2a2c232()27，所以所求的椭圆方程为1.由得16x218mx9m2630，由(18m)2416(9m263)0得m216，则4m4，所以当m4,4时，直线与椭圆C有公共点因为点P是椭圆1上一点所以|PF1|PF2|6.又因为F1PF290，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|28，由得|PF1
4、|PF2|14，所以PF1F2的面积S|PF1|PF2|7.方法技巧代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则0直线与椭圆相交；0直线与椭圆相切；b0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标x0b，则k的值为()A. BC. D解析：由题意得直线ykx与椭圆的一个交点坐标为(b，kb)，解得k，故选B.答案：B2在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围解析：由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(
5、kx)21，整理得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k，所以k的取值范围为.探究二弦长与弦的中点问题教材P48练习7题经过椭圆y21的左焦点F1作倾斜角为60的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，求AB的长解析：由椭圆的方程知F1(1,0)，直线l的方程ytan 60(x1)(x1)与椭圆的方程联立，并消去y得7x212x40.由根与系数关系，知xAxB，xAxB，|AB|.例2椭圆1的左、右焦点分别为F1、F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点(1)求ABF2的周长；(2)若l的倾斜角为，求弦长|AB|及AB的中点坐标解析(1)因为椭圆
6、的方程为1，所以a2，b，c1.由椭圆的定义，得|AF1|AF2|2a4，|BF1|BF2|2a4，又|AF1|BF1|AB|，所以ABF2的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8.(2)由(1)可知，F1(1,0)，因为AB的倾斜角为，所以AB的斜率为1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为yx1.联立整理得7y26y90，由根与系数的关系，得y1y2，y1y2.x1x2y1y22.由弦长公式，得|AB|y1y2|.AB的中点为，即.方法技巧1.直线被椭圆截得的弦长的求解思路(1)求两交点坐标，转化为两点间距离(2)用公式来求设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(
7、x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.注意：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于0的讨论2椭圆中点弦问题的两种解法(1)一元二次方程根与系数的关系法：利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率，基本步骤如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有2x0x1x2,2y0y1y2，又kAB.因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以1，1，两式相减得b2(xx)a2(yy)0，即
8、，所以kAB.跟踪探究3.已知椭圆C的焦点分别为F1(2，0)，F2(2，0)，长轴长为6，设直线yx2交椭圆C于A，B两点(1)求线段AB的中点坐标；(2)求OAB的面积解析：(1)设椭圆C的方程为1，由题意a3，c2，于是b1，所以椭圆C的方程为y21.由得10x236x270.因为该一元二次方程的0，所以点A，B不同，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2(x12)(x22)， 故线段AB的中点坐标为.(2)设点O到直线yx2的距离为d，则d.又由(1)知x1x2，所以|AB|，故SAOB.探究三与椭圆有关的最值问题阅读教材P47例7已知椭圆1，直线l：4x5y400
9、.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？题型：椭圆上的点到直线距离的最值问题方法步骤：(1)设与l平行的直线l的方程(2)当l与椭圆相切时，切点就是椭圆上到直线l最小值的点此时距离的最小值等于l与l间的距离(3)由l的方程与椭圆方程联立方程组，消去y得到关于x的一个一元二次方程由0得出l的方程，从而求出l与l间的距离即为所求例3已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程解析(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于A(x1
10、，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|AB|.所以当m0时，|AB|最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为yx.方法技巧椭圆中的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解题(2)代数法：若题目条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；利用隐
11、含或已知的不等关系建立不等式，从而确定参数的取值范围；利用基本不等式求出函数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围跟踪探究4.已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，离心率e，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B是直线l：x2上的不同两点，若0，求|AB|的最小值解析：(1)由题意得解得所以椭圆的标准方程为1.(2)由(1)知，F1，F2的坐标分别为F1(，0)，F2(，0)，设直线l：x2上的不同两点A，B的坐标分别为A(2，y1)，B(2，y2)，则(3，y1)，(，y2)由0，得y1y260，即y2.不妨设y10，则|
12、AB|y1y2|y12，当y1，y2时取等号，所以|AB|的最小值是2.授课提示：对应学生用书第32页课后小结(1)直线与椭圆的位置关系，可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程，利用“”进行判定求弦长时可利用根与系数的关系，中点弦问题考虑，使用“点差法”(2)最值问题转化为函数最值或利用数形结合思想素养培优1建立目标函数求椭圆中的最值与范围问题如图，点A、B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解析：(1)由已知可得A
13、(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)由已知得消去y得 2x29x180，解得x或x6.由于y0，只能x，于是y.故点P的坐标是.(2)直线AP的方程是xy60.设点M的坐标是(m,0)，则点M到直线AP的距离是，于是|m6|.又6m6，解得m2.设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有d2(x2)2y2x24x420x2215.由于6x6，因此当x时，d取最小值.即椭圆上的点到点M的距离d的最小值为.2运用“设而不求”法研究直线和椭圆的位置关系已知椭圆方程为1(ab0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭
14、圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(1,0)与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|DQ|，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析：(1)由，ab，得a，b1，所以椭圆的方程是y21.(2)设EF：xmy1(m0)，代入y21，得(m23)y22my20.设E(x1，y1)，F(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y得2，m1或m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10.(3)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90(*)，x1，x2是此方程的两个相异实根设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2.由|DP|DQ|，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均使方程(*)没有两相异实根满足条件的k不存在