1、核心素养测评三十二 等差数列(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.若等差数列an的公差为d,则数列是()A.公差为d的等差数列B.公差为2d的等差数列C.公差为nd的等差数列D.非等差数列【解析】选B.数列其实就是a1,a3,a5,a7,奇数项组成的数列,它们之间相差2d.2.在等差数列an中,已知a2=2,前7项和S7=56,则公差d=()A.2B.3C.-2D.-3【解析】选B.由题意可得即解得【一题多解】选B.由等差数列的性质S7=7a4=56,所以a4=8,因此d=3.3.(2020常州模拟)设等差数列an的前n项和为Sn,若a6=2a3,则=()A.B.C.D.【解
2、析】选D.=.4.(2020济南模拟)已知等差数列an的公差d为4,项数为偶数,所有奇数项的和为15,所有偶数项的和为55,则这个数列的项数为()A.10B.20C.30D.40【解析】选B.设等差数列an的项数为n,前n项和为Sn,则S偶-S奇=d=2n=40,n=20,即这个数列的项数为20.5.(多选)(2020海南联考)在等差数列an中,已知a3+a9=0,且S90,则S1、S2、S9中最小的是()A.S5B.S6C.S7D.S8【解析】选AB.在等差数列an中,因为a3+a9=0,S90,所以a3+a9=2a6=0,S9=9a50,所以a5a3,则a80B.若a5a3,则S80C.若
3、S5S3,则S80D.若S5S3,则a80【解析】选C.令等差数列的公差d=1,a1=-12,对A选项,a5=-8a3=-10,而a8=-50,故A错误;对B选项,因为a1=-120,a8=-50,所以S8=0,a8=-20,所以S8=0.【变式备选】已知数列an中,a2=,a5=,且是等差数列,则a7=()A.B.C.D.【解析】选D.设等差数列的公差为d,则=+3d,即=+3d,解得d=2,所以=+5d=12,解得a7=.4.(10分)已知数列an满足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(nN*).(1)求证数列是等差数列,并求其通项公式.(2)设bn=-15,求数列|
4、bn|的前n项和Tn.【解析】(1)因为n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(nN*).所以nan+1-(n+1)an=2n(n+1).所以-=2,所以数列是等差数列,其公差为2,首项为2,所以=2+2(n-1)=2n.(2)由(1)知an=2n2,所以bn=-15=2n-15,则数列bn的前n项和Sn=n2-14n.令bn=2n-150,解得n7.5.所以当n7时,数列|bn|的前n项和Tn=-b1-b2-bn=-Sn=-n2+14n;当n8时,数列|bn|的前n项和Tn=-b1-b2-b7+b8+bn=-2S7+Sn=-2(72-147)+n2-14n=n2-14n+98.所以T
5、n=5.(10分)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)求证:-an=.(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.【解析】(1)由题设,anan+1=Sn-1,知an+1=Sn+1-1.两式相减得,an+1(-an)=an+1.由于an+10,所以-an=.(2)存在.由a1=1,a1a2=a1-1,可得a2=-1.由(1)知,a3=+1.令2a2=a1+a3,解得=4.故-an=4,由此可得,是首项为1,公差为4的等差数列,=1+(n-1)4=4n-3=2(2n-1)-1;是首项为3,公差为4的等差数列,=3+(n-1)4=4n-1=
6、2(2n)-1.所以an=2n-1,an+1-an=2.所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列.因此存在=4,使得an为等差数列.1.设Sn是等差数列an的前n项和,若=,则等于 ()A.B.C. D.【解析】选A.据等差数列前n项和性质可知:S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9仍成等差数列.设S3=k(k0),则S6=3k,S6-S3=2k,所以S9-S6=3k,S12-S9=4k,所以S9=S6+3k=6k,S12=S9+4k=10k,所以=.2.项数为n的数列a1,a2,a3,an的前k项和为Sk(k=1,2,3,n),定义为该项数列的“凯森和”,如果项数为99项的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为1 000,那么项数为100的数列100,a1,a2,a3,a99的“凯森和”为 ()A.991B.1 001C.1 090D.1 100【解析】选C.项数为99项的数列a1,a2,a3,a99的“凯森和”为1 000,所以=1 000,又100,a1,a2,a3,a99的“凯森和”为=100+=100+990=1 090.