1、核心素养测评 三十七数列建模问题(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.70周年国庆阅兵活动向全世界展示了我军威武文明之师的良好形象,展示了科技强军的伟大成就以及维护世界和平的坚定决心,在阅兵活动的训练工作中,不仅使用了北斗导航、电子沙盘、仿真系统、激光测距机、迈速表和高清摄像头等新技术装备,还通过管理中心对每天产生的大数据进行存储、分析,有效保证了阅兵活动的顺利进行,假如训练过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数据量都是前一天的q(q1)倍,那么训练n天产生的总数据量为()A.aqn-1B.aqnC.D.【解析】选D.训练过程中第一天产生的数据量为a,其后每天产生的数
2、据量都是前一天的q(q1)倍,那么训练n天产生的总数据量为:Sn=a+aq+aq2+aqn-1=.2.古代数学著作九章算术有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为()A.10B.9C.8D.7【解析】选C.设该女子第一天织布x尺,则=5,解得x=,所以前n天织布的尺数为(2n-1),由(2n-1)30,得2n187,解得n的最小值为8.3.我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的算法,其
3、方法的前两步为:第一步:构造数列1,.第二步:将数列的各项乘以,得到一个新数列a1,a2,a3,an.则a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=()A.B.C.D.【解析】选C.由题意知所得新数列为1,所以a1a2+a2a3+a3a4+an-1an=+=+-=.4.(多选)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10米.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从1到20依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A.9B.10C.11D.12【解析】选BC.设在x个坑处最佳,则xN+且1x20,则
4、所有同学路程为:y=1+2+(x-1)+1+2+(20-x)=+=x2-21x+210,又因为xN+,所以当x=10或x=11时y最小.二、填空题(每小题5分,共20分)5.如图所示,正方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形腰上再连接正方形,如此继续下去得到一个树形图形,称为“勾股树”.若某勾股树含有1 023个正方形,且其最大的正方形的边长为,则其最小正方形的边长为_.【解析】由题意,得正方形的边长构成以为首项,以为公比的等比数列,现已知共得到1 023个正方形,则有1+2+2n-1=1 023,所以n=10,所以最小正方形的边长为=.答案:6.一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存
5、1 MB,然后每3秒自身复制一次,复制后所占内存是原来的2倍,那么开机_秒,该病毒占据内存8 GB.(1 GB=210 MB)【解析】由题意可知,病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an,且a1=2,q=2,所以an=2n,则2n=8210=213,所以n=13.即病毒共复制了13次,所以所需时间为133=39(秒).答案:397.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精,然后填满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒_次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.【解析】设倒n次后纯酒精与总溶液的体积比为an,则an=,由题意知32 500,即2n-132,得n
6、6,所以该企业从2025年开始年底分红后的资金超过32 500万元.10.科学研究证实,二氧化碳等温室气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响,环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨,否则将采取紧急限排措施.已知A市2018年的碳排放总量为400万吨,通过技术改造和倡导低碳生活等措施,此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量m万吨(m0).世纪金榜导学号(1)求A市2020年的碳排放总量(用含m的式子表示).(2)若A市永远不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.【解析】设2019年的碳排放总量为a
7、1,2020年的碳排放总量为a2,(1)由已知a1=4000.9+m,a2=0.9(4000.9+m)+m=4000.92+0.9m+m=324+1.9m.(2)a3=0.9(4000.92+0.9m+m)+m=4000.93+0.92m+0.9m+m,an=4000.9n+0.9n-1m+0.9n-2m+0.9m+m=4000.9n+m=4000.9n+10m(1-0.9n)=(400-10m)0.9n+10m.由已知有nN*,an550,当400-10m=0即m=40时,显然满足题意;当400-10m0即m40时,由指数函数的性质可得:(400-10m)0.9+10m550,解得m190.综合得m40;当400-10m40时,由指数函数的性质可得10m550,解得m55,综合得40m55.综上可得所求范围是m(0,55.