1、第七节正弦定理和余弦定理A组基础题组1.(2016兰州实战考试)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cosC=()A.B.-C.D.-2.在ABC中,若a=18,b=24,A=45,则此三角形有()A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定3.(2016河北武邑中学期中)ABC中,c=,b=1,B=,则ABC的形状为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形4.(2016课标全国,8,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A.B.C.-D.-5.已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,且(
2、b-c)(sinB+sinC)=(a-c)sinA,则角B的大小为()A.30B.45C.60D.1206.在ABC中,A=,a=c,则=.7.(2014天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.8.(2015福建,12,4分)若锐角ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.9.(2016武汉高三测试)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+=4cosC,b=1.(1)若A=90,求ABC的面积;(2)若ABC的面积为,求a,c.10.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,
3、B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=,求角A的大小.B组提升题组11.(2015山东菏泽期中)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC的面积为S,若acosB+bcosA=csinC,S=(b2+c2-a2),则B=()A.90B.60C.45D.3012.已知锐角A是ABC的一个内角,a,b,c是角A、B、C的对边,若sin2A-cos2A=,则下列各式正确的是()A.b+c=2aB.b+c1,则ABC一定是钝角三角形;若sin2A+sin2B=sin2C,则ABC一定是直角三角形;若cos(A-B)cos(
4、B-C)cos(C-A)=1,则ABC一定是等边三角形.以上命题中正确命题的序号为.15.如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,cosB=.(1)求ACD的面积;(2)若BC=2,求AB的长.16.(2016东北育才五模)已知ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=acosC.(1)求角C;(2)若c=,且sinC+sin(B-A)=5sin2A,求ABC的面积.答案全解全析A组基础题组1.B由题意得,b2=ac=2a2,b=a,cosC=-,故选B.2.B=,sinB=sinA=sin45,sinB=.又ab,B为三角形ABC的内角
5、,45B180,B有两个值,即此三角形有两解.3.D根据余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,当a=1时,三角形ABC为等腰三角形,当a=2时,三角形ABC为直角三角形,故选D.4.C解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC=-,故选C.解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在RtADC中,AC=BC,sinDAC=,cosDAC=,又因为B=,所以cosBAC=cos=cosDACcos-sinDACsin=-=-,故选C.5.A由=及(b-
6、c)(sinB+sinC)=(a-c)sinA得(b-c)(b+c)=(a-c)a,即b2-c2=a2-ac,所以a2+c2-b2=ac,又因为cosB=,所以cosB=,所以B=30.6.答案1解析在ABC中,A=,a2=b2+c2-2bccos,即a2=b2+c2+bc.a=c,3c2=b2+c2+bc,b2+bc-2c2=0,(b+2c)(b-c)=0,b-c=0,b=c,=1.7.答案-解析由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cosA=-.8.答案7解析设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsinA=10得sinA=,因为A
7、为锐角,所以A=60,cosA=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-240=49,故a=7,即BC=7.9.解析(1)b=1,a+=4cosC=4=,2c2=a2+1.又A=90,a2=b2+c2=c2+1,2c2=a2+1=c2+2,c=,SABC=bcsinA=bc=1=.(2)SABC=absinC=asinC=,sinC=,a+=4cosC,sinC=,+=1,化简得(a2-7)2=0,a=,则cosC=,利用余弦定理可得c=2.10.解析(1)证明:由正弦定理及已知条件得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=
8、sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB,因sinB0,故sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.B组提升题组11.C由acosB+bcosA=csinC及正弦定理得2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin2C(R为ABC外接圆的半径),即sin(A+B)=sin2C,sinC=sin2C,又
9、sinC0,sinC=1,又C(0,),C=,c2=b2+a2,S=ab,又S=(b2+c2-a2),a=b,B=45,故选C.12.Csin2A-cos2A=,cos2A=-.0A,02A1,且A,B为三角形内角,所以tanA0,tanB0,所以A,B均为锐角,又因为tan(A+B)=-tanC=0,所以C为锐角,所以ABC不是钝角三角形,错.由正弦定理及条件,得a2+b2=c2,所以ABC一定为直角三角形,对.由cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1及A、B、C为三角形内角,可得cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C,对.15.解析(1)因为
10、D=2B,cosB=,所以cosD=cos2B=2cos2B-1=-.因为D(0,),所以sinD=.因为AD=1,CD=3,所以ACD的面积S=ADCDsinD=13=.(2)在ACD中,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosD=12,所以AC=2.因为BC=2=AC,=,所以=,所以AB=4.16.解析(1)根据=,可得csinA=asinC,又csinA=acosC,asinC=acosC,sinC=cosC,tanC=,C(0,),C=.(2)sinC+sin(B-A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),sin(A+B)+sin(B-A)=5sin2A,2sinBcosA=25sinAcosA.ABC为斜三角形,cosA0,sinB=5sinA.由正弦定理可知b=5a,c2=a2+b2-2abcosC,21=a2+b2-2ab=a2+b2-ab,由解得a=1,b=5,SABC=absinC=15=.
