1、福建省福州市八县（市、区）一中2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知命题，使得，则为（ ）A. ，总有B. ，总有C. ,使得D. ，使得【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可【详解】命题是特称命题，则命题的否定是总有成立,故选:B【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键属于基础题2.已知中心在原点的等轴双曲线，右顶点为，则双曲线的焦距等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析
2、】根据等轴双曲线的定义,右顶点以及双曲线中的关系式,计算可求解.【详解】因为双曲线为等轴双曲线,所以,因为右顶点为,所以,所以焦距.故选:C【点睛】本题考查了等轴双曲线的定义,双曲线的几何性质,属于基础题.3.不等式的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得,根据充分,必要条件的概念分析可求解.【详解】由不等式得,解得,因为=,所以选项为充要条件,因为,所以选项为充分不必要条件,因为,且,所以选项是既不充分也不必要条件,因为,所以选项是必要不充分条件.故选:A【点睛】本题考查了必要不充分条件,属于基础题.4.下列命题中正确的是（ ）A. 命
3、题“若，则”的否命题为“若，则”；B. 命题“若平面向量共线，则方向相同”的逆否命题为假命题；C. 命题“若或，则”是真命题；D. 命题“若，则中至少有一个大于等于”的逆命题是真命题.【答案】B【解析】【分析】根据写否命题时,既要否定条件,又要否定结论可知,不正确;根据原命题为假命题且逆否命题与原命题同真假可知,正确;根据逆否命题为假且原命题与逆否命题同真假可知,不正确;根据否命题为假命题且逆命题与否命题同真假可知,不正确.【详解】对于,命题“若，则”的否命题为“若，则”,故不正确;对于,因为时,满足向量共线,但是不能说方向相同,所以命题“若平面向量共线，则方向相同”是假命题,所以其逆否命题也
4、是假命题,故正确;对于,因为命题“若或，则”的逆否命题”若,则且”是假命题,所以原命题也是假命题,故不正确;对于,因为命题“若，则中至少有一个大于等于”的否命题”若,则都小于2”是假命题,所以逆命题也是假命题,故不正确.故选:B【点睛】本题考查了四种命题及其真假的判断,属于基础题.5.已知椭圆的中心在原点，长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的几何性质得到后,讨论焦点的位置可得椭圆方程.【详解】设椭圆长半轴长,短半轴长,半焦距分别为, 因为椭圆的长轴长为，且两个焦点恰好将长轴三等分,所以,所以,所以,当焦
5、点在轴上时,椭圆的标准方程为,当焦点在轴上时,椭圆标准方程为,故选:D【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和几何性质,属于基础题.6.如图所示，在平行六面体中，是的中点，点是上的点，且.用表示向量的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法则可得.【详解】如图所示:因为 .故选:D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形,向量减法的三角形法,属于基础题.7.空间四边形中若则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积计算可得.【详解】因为 ,因为,所以,所以,故选:B【点睛】本题考
6、查了向量加法的三角形法则以及平面向量的数量积,属于基础题.8.已知点为抛物线上的动点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义,得=,再利用两点之间连线段最短可得.【详解】如图所示:设抛物线的焦点为,则,因为,当且仅当三点共线,且在线段上时,取得等号.故选:B【点睛】本题考查了抛物线的定义,属于基础题.9.如图，在正方体中，、分别为、的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分别以边所在直线为轴,轴,轴，建立如图所示空间直角坐标系：设正方体边长为1,，并能确定
7、以下几点坐标:;故选A10.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，点是两曲线的一个交点，且垂直轴，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别在双曲线和抛物线中求出的坐标为和,由此列式可求得.【详解】不妨设在第一象限内,则在双曲线中,在抛物线中,所以,且,所以,所以,所以,所以,所以或(舍).故选:C【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的几何性质,属于基础题.11.已知椭圆与双曲线有公共焦点且两条曲线在第一象限的交点为点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线方程可知焦点在轴上,所以,再联立椭圆与双曲线方程解得点的纵坐标的绝
8、对值,然后利用面积公式可求得.【详解】因为双曲线的焦点在轴上,所以椭圆的焦点在轴上,所以,即,联立 ,所以,所以,所以,所以 ,所以,即点的纵坐标的绝对值为, 又,所以的面积为.故选:C点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题,三角形面积公式,属于中档题.12.已知椭圆的内接的顶点为短轴的一个端点，右焦点，线段中点为，且,则椭圆离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设,所以,根据定比分点坐标公式可得弦的中点坐标,再根据弦的中点在椭圆内列不等式可解得.【详解】设,因为,所以,因为,所以,由定比分点坐标公式得,化简得,所以弦的中点坐标为,根据弦的中点在椭圆内可得,
9、所以,所以,又离心率,所以.故选:A【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,定比分点的坐标公式,点与椭圆的位置关系,椭圆的离心率,属于中档题.第卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置）13.命题“”是真命题，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】依题意列式或且,可解得.【详解】因为命题“”是真命题,所以对任意实数都成立,所以或且,所以或,综上所述:实数的取值范围是.故答案为: 【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立,分类讨论思想,属于基础题.14.双曲线的一条弦恰被点平分，则这条弦所在的直线方程是_.【答案】【解析】【分析】设弦为,将的坐标代入椭圆方程
10、作差,可求出弦的斜率,再由点斜式可解得.【详解】设弦为,所以,所以,所以,又弦的中点为,所以,所以,由点斜式得弦所在直线的方程为:,即.故答案为: .【点睛】本题考查了点差法求弦的斜率,直线方程的点斜式,属于基础题.15.已知A、B是过抛物线焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，满足，则的值为_【答案】【解析】【分析】由题意首先求得倾斜角的三角函数值，然后结合面积公式和三角函数的定义可得p的值.【详解】设焦点弦的倾斜角为，由抛物线焦点弦的焦半径公式可知：，故：，解得：，故，设原点到直线AB的距离为h，则，由三角函数的定义可得：，即，解得：.【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，抛物线中的
11、三角形问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，且，为侧棱的中点，分别是线段和线段上的动点(含端点)，且满足，当运动时，下列结论中正确的序号是_.在内总存在与平面平行的线段；平面平面；三棱锥的体积为定值；可能为直角三角形.【答案】【解析】【分析】对于,取的中点,则可证就是满足条件的线段;对于,可证与平面垂直,再由平面与平面垂直的判定定理可证;对于,可用等体积法求得三棱锥的体积为定值;对于, 设,可求得三角形三边长,再用余弦定理判断三角形不可能是直角三角形.【详解】如图所示:取的中点,的中点,的中点,连,对于,根据梯形中位线有,又,所以,所以四边
12、形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,故正确;对于,在直四棱柱中，底面为菱形，,所以,又直四棱柱的侧面与底面垂直,所以平面,而,所以平面,因为平面,所以平面平面,故正确,对于,设,则为定值,故正确;对于, 设,则,因为,所以为等腰三角形,所以不可能为直角,又 ,因为,所以或时, 取得最小值,最小值为,所以,所以0,所以恒为锐角,不可能为直角,故不正确.故答案为:【点睛】本题考查了线面平行的判定定理,面面垂直的判定定理,等体积法求体积,余弦定理判断三角形形状,属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.若命题实数满足，命题实数满足.（
13、1）当且为真命题时，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1) 为真命题时,与都是真命题,用和或取公共部分即可得到;(2)利用真子集关系列式即可得到.【详解】解：（1）由，得,当时，由，得或,或,为真命题，真且真,实数的取值范围为.（2）因为，由,得,设,是的必要不充分条件，,又,实数的取值范围为.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,命题的真假,必要不充分条件,属于中档题.18.（1）已知中心在原点的双曲线的焦点坐标为，且渐近线方程为，求双曲线的标准方程；（2）在圆上任取一点,过点作轴的垂线段，为垂足，当点在该圆上运动时，求线
14、段的中点的轨迹方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据,联立解方程组可解得,从而可得;(2)设出的坐标为,根据中点公式可得的坐标,再将的坐标代入椭圆方程可得.【详解】解：（1）依题可知双曲线的焦点在轴上，则设其方程为：，且双曲线的渐近线方程为,即又，由得得双曲线方程为：（2）设轨迹上任一点的坐标为，点的坐标为，则依题意可知点坐标为的中点为，即点圆上运动，,所以,，经检验所求方程符合题意,点的轨迹方程为【点睛】本题考查了双曲线的标准方程,代入法求曲线的轨迹方程,属于基础题.19.如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小.【答案
15、】（）见解析（）【解析】试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(3）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备试题解析：（I）记与的交点为，连接，、分别是的中点，是矩形四边形是平行四边形，平面平面，平面6分（）在平面中过作于，连接，平面，是在平面上的射影，由三垂线定理点得是二面角的平面角，在中，二面角
16、的大小为8分另解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设与交于点，则（I）易得：，则，由面，故面；（）取面的一个法向量为，面的一个法向量为，则，故二面角的大小为考点：证明线面平行及求二面角20.已知抛物线的方程为，上一点到焦点的距离为.（1）求抛物线的方程及点的坐标；（2）过点的直线与抛物线交于点，与轴交于点，设,求证:是定值.【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】(1)利用抛物线的定义列式可解得,可得抛物线,令,可得的值;(2) 设直线的方程为,并代入抛物线,由韦达定理以及向量关系可解得.【详解】解：（1）依题意得抛物线的准线为，抛物线上一点
17、到焦点的距离为，由抛物线的定义可得，抛物线的方程为，.（2）当直线的斜率不存在时不符合题意，故直线的斜率必存在且不为.直线过点,设直线的方程为，当时,，点坐标，设,由,得，整理得,，,，,，即同理可得,即是定值.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系,韦达定理,向量的线性运算,属于中档题.21.如图所示，等腰梯形中,，为中点，与交于点，将沿折起，使点到达点的位置（平面）（1）证明：平面平面；（2）若，试判断线段上是否存在一点(不含端点),使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由【答案】（1）证明见解析（2）存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值
18、为，【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证平面POB,利用面面垂直的判定定理证平面POB平面ABCE可得;(2)利用证明OPOB,然后以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量可求得直线与平面所成角的正弦值,根据已知列等式可解得.【详解】解：（1）证明：连接,在等腰梯形ABCD中，为中点，四边形为菱形，AE，即,且平面平面，AE平面POB又AE平面ABCE，平面POB平面ABCE（2）由（1）可知四边形为菱形，在等腰梯形ABCD中正三角形同理,OPOB，由（1）可知，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，,，设,设平面的一个
19、法向量为,则，即,取，得，所以(0，1，),设直线与平面所成角为，则，即,化简得：，解得,存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定,线面角的向量求法,属于中档题.22.已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为.过椭圆上的动点作圆的两条切线分别交轴于两点（1）求椭圆的方程；（2）求线段长度的最大值，并求此时点的坐标【答案】（1）（2）取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点【解析】【分析】(1)根据离心率为,椭圆截直线所得线段的长度为,列式可解得;(2)先求出点的横坐标的取值范围,再设出过点P的圆的切线方程为,根据圆心到直线的距离求出,可得,根据韦达定可得,再求出弦长,并利用单调性求出最大值即可.【详解】解：（1）椭圆的离心率为，所以,所以,又,，当时，椭圆的方程是（2）设,由得,(舍去)，因为在椭圆上,过作椭圆的切线有两条,如图所示:设过点P的圆的切线方程为，圆心到直线的距离为1，化简得，所以,设则，是椭圆上的点，所以,，令,在上单调递减，在内也是单调递减，所以时,取得最小值1,时,取得最大值,又,所以 ,，所以当时，取得最大值，此时点P位置是椭圆的左顶点【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,点到直线距离,圆的切线方程,利用单调性求最大值,属于难题.