1、第2课时一元二次不等式及其解法内容标准学科素养1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式2.会对含参数的一元二次不等式分类讨论3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.提升数学运算发展逻辑思维应用直观想象授课提示：对应学生用书第57页基础认识知识点一分式不等式的解法(1)若a，bR，0与ab0，0与ab0是否等价？0与ab0，0与ab0呢？提示：0ab0，0ab0.0与ab0不等价，0与ab0不等价(2)0与(x3)(x2)0等价吗？将0变形为(x3)(x2)0，有什么好处？提示：0(x3)(x2)0x3或x2. 知识梳理解分式不等式的同解变形法则(1)0f(x)g(x)0；(2
2、)0；(3)a0.知识点二不等式恒成立知识梳理不等式x2x10的解集为R，即x2x10在R上恒成立(1)一元二次不等式恒成立的情况：ax2bxc0(a0)恒成立；ax2bxc0(a0)恒成立.(2)一般地，若函数yf(x)，xD既存在最大值，也存在最小值，则：af(x)，xD恒成立af(x)max；af(x)，xD恒成立af(x)min.自我检测1不等式0的解集为_答案：(，0)(1，)2不等式x2ax40对任意xR恒成立，则a的取值范围为_答案：(4,4)授课提示：对应学生用书第58页探究一简单的分式不等式例1(1)不等式2的解集为()Ax|x2BRC Dx|x2或x2解析因为x2x120，
3、所以原不等式可化为x22x22(x2x1)，化简得x24x40，即(x2)20，所以原不等式的解集为x|x2答案A(2)求下列不等式的解集0；1.解析原不等式可化为解得所以3x，所以原不等式的解集为.原不等式可化为或解得或所以3x，所以原不等式的解集为.方法技巧(1)对于0，若已知g(x)的正、负可直接去分母g(x)如本例(1)若不知正负，可转化为f(x)g(x)0.(2)对于a，可转化a0求解跟踪探究1.已知关于x的不等式0的解集是(，1)，则a_.解析：0等价于(ax1)(x1)0，由题意得a0，且1和是方程的两个根，所以0，所以a2.答案：22解不等式2，解析：法一：移项，得20，左边通
4、分并化简，得0，即0，它的同解不等式为x2或x5.原不等式的解集为x|x2或x5法二：原不等式可化为0.此不等式等价于或解，得x5.解，得x2.原不等式的解集为x|x2或x5探究二解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式ax2(a1)x10.解析(1)当a0时，不等式化为x10，x1.当a0时，不等式化为(x1)(ax1)0(2)若a0，不等式化为(x1)(x)0当a1时，1得x1当a1时，不等式无解当0a1时，1得1x(3)若a0，不等式化为(x1)(x)01得x1或x.综上，当a0时，解集为；当a0时，解集为x|x1；当0a1时，解集为；当a1时，解集为；当a1时，解集为.延伸探究1.
5、将本例的不等式变为：解关于x的不等式(aR)：x2(aa2)xa30.解析：将不等式x2(aa2)xa30变形为(xa)(xa2)0.当a0时，有aa2，所以不等式的解集为x|xa或xa2；当a0时，aa20，所以不等式的解集为x|xR，且x0；当0a1时， 有aa2，所以不等式的解集为x|xa2或xa；当a1时，aa21，所以不等式的解集为x|xR，且x1；当a1时，有aa2，所以不等式的解集为x|xa或xa2方法技巧解含参数的一元二次不等式的步骤探究三不等式恒成立问题教材P103 A组第3题当k取什么值时，一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立？探究：由题意得由得3k0，3k0.例
6、3设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求m的取值范围(2)对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解析(1)要使mx2mx10恒成立，若m0，显然10，满足题意；若m0，4m0.所以4m0.(2)要使f(x)m5在x1,3上恒成立就要使m2m60在x1,3上恒成立令g(x)m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数；所以g(x)maxg(1)m60，得m6，所以m0.综上m.方法技巧处理不等式恒成立问题的常用方法(1)一元二次不等式恒成
7、立的情况：ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立(2)若函数yf(x)，xD既存在最大值，也存在最小值，则：af(x)，xD恒成立af(x)max；af(x)，xD恒成立af(x)min.(3)a0时，f(x)0在区间，上恒成立(4)a0时，f(x)0在区间，上恒成立延伸探究2.例3(1)中改为“对于一切实数x，f(x)mx2mx10恒成立”，则m的取值范围是_解析：当m0时，10恒成立当m0时，得0m4综上0m43例3(1)中“函数f(x)mx2mx1”改为“f(x)mx2mx1，x2，)”，结论又是什么？解析：要使m2m60在2，)上恒成立当m0时，60恒成立；当m0时，
8、g(x)m(x)2m60恒成立；当m0时，g(x)在2，)时为增函数，无最大值综上m0.授课提示：对应学生用书第59页课后小结1解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解当不等式含有等号时，分母不为零2对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决当然，这必须以参数容易分离作为前提分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)若f(x)有最大值f(x)max，则af(x)恒成立af(x)max；(2)若f(x)有最小值f(x)min，则af(x)恒成立af(x)min.3含参数的一元二次型的不等
9、式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a0，a0，a0.(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两个不等实数根(0)，两个相等实数根(0)，无根(0)(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1x2，x1x2，x1x2.素养培优1忽视二次项系数为零的情况致误关于x的不等式(1m)x2mxmx21对xR恒成立，求实数m的取值范围易错分析错解中，忽视了对二次项次系数m0是否符合题意的讨论，导致错误自我纠正原不等式可化为mx2mx(m1)0，若m0，则不等式化为10，符合题意；若m0，则应有m0.综上，m的取值范围为m0.2忽视对参数的分类讨论致误解关于x的不等式x22ax30(aR)易错分析错解中，没有考虑到方程没有实数根和只有一个实数根的情况，导致错误自我纠正当4a2120，即a或a时，方程x22ax30有两个不相等的实数根，即x1a，x2a，且x1x2，所以不等式的解集为x|xa或xa；当4a2120，即a时，方程x22ax30没有实数根，所以不等式的解集为R；当4a2120，即a时，方程x22ax30有两个相等的实数根，所以不等式的解集为R.综上所述，当a或a时，不等式的解集为x|xa或xa；当a时，不等式的解集为R.
