1、第二讲古典概型(文) 第五讲古典概型(理)知识梳理双基自测知识点一基本事件的特点(1)任何两个基本事件是_互斥_的(2)任何事件都可以表示成_基本事件_的和(除不可能事件)知识点二古典概型的定义具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个_(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等_知识点三古典概型的概率公式P(A)_1任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和2求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“在适宜条
2、件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型()(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()(5)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2()题组二走进教材2(P133T3改编)袋中装有3个白球，2个黄球，1个黑球，从中任取两球，则取出的两球有黑球的概率为_，两球不同色的概率
3、为_解析(理)记“取出两球有黑球”为事件A，则P(A)，两球不同色的取法有11种，记“取出两球不同色”为事件B，则P(B)(文)记3个白球为a1，a2，a3,2个黄球为b1，b2,1个黑球为c，则任取两球有a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a1c，a2a3，a2b1，a2b3，a2c，a3b1，a3b2，a3c，b1b2，b1c，b2c共15种，其中有1球为黑色的有5种，记“取出两球有黑球”为事件A，则P(A)，两球不同色的取法有11种，记“取出两球不同色”为事件B，则P(B)题组三走向高考3(2018新课标)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个
4、大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是(C)ABCD解析不超过30的素数有，2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个，从中选2个不同的数有45种，和等于30的有(7,23)，(11,19)，(13,17)，共3种，则所求概率P，故选C4(2019课标全国，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(D)ABCD解析(理)记“两位女同学相邻”为“事件A”，则P(A)，故选D(文)设两位男同学分别为A、B，两位女同学分别为a，b，则四位同学排成一列，所有可能的结果用树状图表示为共24
5、种结果，其中两位女同学相邻的结果有12种，P(两位女同学相邻)，故选D5(2019课标全国)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(B)ABCD解析解法一：记5只兔子分别为A，B，C，D，E，其中测量过某项指标的3只兔子为A，B，C，则从这5只兔子中，随机取出3只的基本事件有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，其中恰有2只测量过该指标的基本事件有ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共6种，所以所求事件的概率P故选B解法二：(理)记“恰有2只测量过该指标”为事件
6、A，则P(A)，故选B考点突破互动探究考点一简单的古典概型问题自主练透例1 (1)(2017课标全国)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(D)ABCD(2)(理)(2021四川攀枝花统考)有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是(A)ABCD(文)(2021四川攀枝花统考改编)有编号分别为1,2,3的3个红球和3个白球，随机取出2个，则取出的2球编号不同的概率为_(3)(理)(2019全国，6)我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由
7、从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(A)ABCD(文)(2018上海高考)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_(结果用最简分数表示)(4)(理)(2021湖北省调研)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，
8、“礼”和“乐”必须分开安排的概率为(C)ABCD(文)(2021百师联盟联考)某学校实行导师制，该制度规定每位学生必须选一位导师，每位导师至少要选一位学生若A，B，C三位学生要从甲，乙中选择一人做导师，则A选中甲同时B选中乙做导师的概率为_(5)(理)(2021安徽合肥质检)在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为(C)ABCD解析(1)解法一：(列举法)画出树状图如图：可知所有的基本事件共有25个
9、，满足题意的基本事件有10个，故所求概率P故选D解法二：(排列组合法)P故选D(2)(理)有编号分别为1,2,3,4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，基本事件总数nC56，取出的编号互不相同包含的基本事件个数mCCCC32，则取出的编号互不相同的概率是P，故选A(文)记三个红球为1,2,3,3个白球为，则任取的球共有(1,2)，(1,3)，(1，)，(1，)，(1，)，(2,3)，(2，)，(2，)，(2，)，(3，)，(3，)，(3，)，(，)，(，)，(，)共15种，其中编号相同的有3种，故所求概率为P1(3)(理)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的
10、重卦共有2664种，重卦中恰有3个“阳爻”的共有CC20种故所求概率P，故选A(文)记5克、3克、1克砝码分别是5、3、1，两个2克砝码分别为2a,2b，则从这五个砝码中随机选取三个，有以下选法：(5,3,1)，(5,3,2a)，(5,3,2b)，(5,1,2a)，(5,1,2b)，(5,2a,2b)，(3,1,2a)，(3,1,2b)，(3,2a,2b)，(1,2a,2b)，共10种，其中满足三个砝码的总质量为9克的有(5,3,1)，(5,2a,2b)，共2种，故所求概率P(4)(理)解法一：当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其他剩下的有A种情况，由间接法得到满足
11、条件的情况有ACAA当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有A种，由间接法得到满足条件的情况有ACAA共有：ACAAACAA种情况，不考虑限制因素，总数有A种，故满足条件的事件的概率为：，故答案为C解法二：当“数”位于第一位时，有AA种；当“数”位于第二位时，有CACAA种，总排法有A种，所求概率P(文)A，B，C三位学生选甲，乙做导师的可能结果用(x，y)表示，x，y分别表示甲，乙做导师，所有可能结果为：(AB)，C)(C，(AB)(AC)，B)(B，(AC)(A，(BC)(BC)，A)共有6个基本事件记“A选中甲同时B选中乙做导师”为事件M，则M包含(A，(
12、BC)，(AC)，B)2个基本事件故P(M)(5)(理)从辖区内A，B，C三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，每个小区安排2人，则基本事件总数nA90，每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为mCCCCCC8，则所求概率为P，选C引申(理)本例(4)中，(1)“必须分开”改为“相邻”，则概率为_；(2)“必须分开”改为“不和数相邻”的概率为_解析(1)P(2)P名师点拨求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵
13、活选择变式训练1(1)(理)(2021河南郑州名校调研)甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为(A)ABCD(文)(2021湖北百师联盟质检)2021年春节，小伟计划到华东旅游，现从“上海，南京，杭州，苏州，无锡”五个城市中任选两个，则上海被选中的概率为_(2)(理)(2021广东百校联考)十二生肖，又称十二属相，中国古人拿十二种动物来配十二地支，组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学依次随机抽取一件作为礼物，甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外
14、其他的都喜欢，则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是_(文)(2021福建龙岩一中期中)某学校积极开展“服务社会，提升自我”的志愿者服务活动，九年级的五名同学(三男两女)成立了“交通秩序维护”小分队若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护，则恰是一男一女的概率是_解析(1)(理)甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，基本事件总数nA24，甲、乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数mAAA20，甲、乙两人中至少有一人站在两端的概率为：P故选A(文)不同选法有(上海，南京)，(上海，杭州)，(上海，苏州)，(上海，无锡)，(南京，杭州)，(南京，苏州)，(南京，无锡)，(杭州，苏州)，(杭州，
15、无锡)，(苏州，无锡)，共10种，其中上海被选中的有4种，故所求概率为P(2)(理)依题意可分类为甲同学选马，则有CC18种，甲同学选牛，则有CC27种所有情况有A种，则这三位同学选取的礼物都满意的概率P(文)三名男生分别记为1,2,3，两名女生分别记为4,5，则从该小分队中任选两名同学的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个设“恰是一男一女”为事件A，则A包含的基本事件为(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，共6个故所求的概率为P(A) 考点二较复杂的古典
16、概型问题多维探究角度1古典概型与平面向量的交汇例2 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p(m，n)，q(2,1)，则向量pq的概率为 (B)ABCD解析向量pq，m2n0，m2n，满足条件的(m，n)有3个：(2,1)，(4,2)，(6,3)，又基本事件的总数为36，P，故选B角度2古典概型与解析几何的交汇例3(2021甘肃兰州模拟)双曲线C：1(a0，b0)，其中a1,2,3,4，b1,2,3,4，且a，b取到其中每个数都是等可能的，则直线l：yx与双曲线C的左、右支各有一个交点的概率为(B)ABCD解析直线l：yx与双曲线C的左、右支各
17、有一个交点，则1，基本事件总数为4416，满足条件的(a，b)的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个(或CCC6(个)，故概率为角度3古典概型与函数的交汇例4(2021吉林省实验中学月考)已知函数f(x)x3ax2b2x1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(D)ABCD解析求导得f(x)x22axb2，要满足题意需x22axb20有两个不等实根，即4(a2b2)0，即ab，又a，b的取法共有339种，其中满足ab的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)
18、，(3,2)共6种，故所求的概率为P名师点拨较复杂的古典概型问题的求解方法解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件总数和随机事件中所含基本事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算变式训练2(1)(角度1)设平面向量a(m,1)，b(2，n)，其中m，n1,2,3,4，记“a(ab)”为事件A，则事件A发生的概率为(A)ABCD(2)(角度2)(2020河北七校联考)若m是集合1,3,5,7,9,11中任意选取的一个元素，则椭圆1的焦距为整数的概率为_(3)(角度3)(2020四川威远中学月考)若a，b1,0,1,2，则函数f(x)ax22xb
19、有零点的概率为(A)ABCD解析(1)a(ab)a(ab)0m22mn10，即n(m1)2，又m、n1,2,3,4，(m，n)共有16个，而事件A仅包括(2,1)，(3,4)2个，P(A)，故选A(2)由题意知椭圆的焦距2c2或2c2，m1,3,11，所求概率P(3)a，b1,0,1,2，(a，b)的取法有16种，函数yf(x)有零点，即44ab0，ab1，由表baba101211012000001101222024知符合条件的(a，b)有13种，所求概率为，故选A考点三,古典概率与统计的综合师生共研例5 (1)对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图根据标准
20、，产品长度在区间20,25)上为一等品，在区间15,20)和25,30)上为二等品，在区间10,15)和30,35上为三等品用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(D)A0.09B0.20C0.25D0.45(2)(2021河南安阳调研)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位，现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：A类行业：85,82,77,78,83,87；B
21、类行业：76,67,80,85,79,81；C类行业：87,89,76,86,75,84,90,82计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；若从抽取的A类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率解析(1)由频率分布直方图的性质可知，样本数据在区间25,30)上的频率为15(0.020.040.060.03)0.25，则二等品的频率为0.250.0450.45，故任取1件为二等品的概率为0.45(2)由题意，得抽取的A，B，C三类行业单位个数之比为334由分层抽样的定义，有A类行业的单位个数为20060，B类行业的
22、单位个数为20060，C类行业的单位个数为20080，故该城区A，B，C三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M(理)又A类行业的6个单位中有4个“量级”单位，记2个“非量级”单位，P(M)(或P(M)1P()1)(文)这3个单位的考核数据情形有85,82,77，85,82,78，85,82,83，85,82,87，85,77,78，85,77,83，85,77,87，85,78,83，85,78,87，85,83,87，82,77,78，82,77,83，82,77,87，82,78,83，82,78,87，8
23、2,83,87，77,78,83，77,78,87，77,83,87，78,83,87，共20种这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有85,82，83，85,82,87，85,83,87，82,83,87共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，故所求概率P(M)1名师点拨有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，即可解决此类问题变式训练3(2020衡水中学模拟)某
24、中学有初中生1 800人，高中生1 200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中生”和“高中生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图(1)写出a的值；(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率解析(1)由题意得a0.10.040.020.00520.03(2)初中生中，阅读时间不少于3
25、0个小时的学生频率为(0.0200.005)100.25所有初中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.251 800450(人)同理，高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35，所有高中生中，阅读时间不少于30个小时的学生约有0.351 200420(人)该校所有学生中，阅读时间不少于30个小时的学生人数约有450420870(3)由分层抽样知，抽取的初中生有60名，高中生有40名记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件A初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05，样本人数为0.0560
26、3高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05，样本人数为0.05402则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能的情况有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)共10种(C10(种)(理)，其中至少有一名高中生的情况有7种，(CC7(种)(理)，所求概率为0.7名师讲坛素养提升有放回抽样与无放回抽样(理)例6 (1)(2021山东济南一中期中)已知7件产品中有5件合格品，2件次品，为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则“恰
27、好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为_(2)有10个球，其中3个白球7个红球，有人有放回地进行摸球，则其第三次才摸到白球的概率为_0.147_解析(1)解法一：考查两件次品的位置，共有C21种取法，因为恰好第五次取出最后一件次品，依题意另一件次品只能排2,3,4位，共有C3种取法，故概率为解法二：P(2)P0.147变式训练4袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”、“谐”、“校”、“园”，每次从中任意摸出一个小球，直到“和”、“谐”两个小球都摸到就停止摸球若有放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为_；若无放回地摸球，则恰好在第三次停止摸球的概率为_解析P或；P
28、轻松破解古典概型问题的技巧(文)例6(2021重庆模拟)小波以游戏的方式决定是去打球、唱歌还是去下棋游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X0就去打球，若X0就去唱歌，若X0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率解析(1)X的所有可能取值为2，1,0,1(2)数量积为2的有，共1种；数量积为1的有，共6种；数量积为0的有，共4种；数量积为1的有，共4种故所有可能的情况共有15种所以小波去下棋的概率为P1；因为去唱歌的概率为P2，所以小波不去唱歌的
29、概率P1P21名师点拨求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解如果采用解法一，一定是将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用第二种，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误变式训练4(2020聊城模拟)元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1,2,3,4，确定是由谁展示才艺的规则如下：每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；当X3或X6时，即有资格展示才艺；当3X6时，即被迫放弃展示(1)请你写出红
30、绿纸片所有可能的组合(例如(红2，绿3)，(红3，绿2)(2)求甲同学能取得展示才艺资格的概率解析(1)红绿卡片所有可能的组合为：卡片组合绿色卡片1234红色卡片1(红1，绿1)(红1，绿2)(红1，绿3)(红1，绿4)2(红2，绿1)(红2，绿2)(红2，绿3)(红2，绿4)3(红3，绿1)(红3，绿2)(红3，绿3)(红3，绿4)4(红4，绿1)(红4，绿2)(红4，绿3)(红4，绿4)(2)X值绿色卡片1234红色卡片12345234563456745678从(1)中可知红绿卡片所有可能组合对共有16个满足当X3或X6的红绿卡片组合对有：(红1，绿1)，(红1，绿2)，(红2，绿1)，(红2，绿4)，(红3，绿3)，(红3，绿4)，(红4，绿2)，(红4，绿3)，(红4，绿4)共9个所以甲同学取得展示才艺资格的概率为
