1、第七节利用空间向量求空间角1异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为，则cos ， 其中a，b分别是直线a，b的方向向量2直线与平面所成角如图所示，设l为平面的斜线，lA，a为l的方向向量，n为平面的法向量，为l与所成的角，则sin |cosa，n|.3二面角(1)若AB，CD分别是二面角l的两个平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量与的夹角，如图(1)(2)平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1，n2，则二面角 l 为或.设二面角大小为，则|cos |cos |，如图(2)(3)两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，)，
2、所以公式中要加绝对值直线与平面所成角的范围为，而向量之间的夹角的范围为0，所以公式中要加绝对值利用公式与二面角的平面角时，要注意n1，n2与二面角大小的关系，是相等还是互补，需要结合图形进行判断 熟记常用结论解空间角最值问题时往往会用到最小角定理cos cos 1cos 2.如图，若OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面内的射影，OC为平面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，1为OA与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么cos cos 1cos 2.小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角()(2)已知a(2
3、，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则ac，ab.()(3)已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若cosm，n，则直线l与平面所成的角为120.()(4)已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为45.()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设直三棱柱的棱长为2，则可
4、得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，(1，1,2)， (1,0,2)cos，.2.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_解析：以A为坐标原点，以， (AEAB)，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设D为A1B1的中点，则A(0,0,0)，C1(1，2)，D(1,0,2)，(1，2)，(1,0,2)C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，cosC1AD，又C1AD，C1AD.答案：3过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则
5、平面PAB与平面PCD所成的角为_解析：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设ABPA1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，知AD平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AEPD，又CD平面PAD，CDAE，从而AE平面PCD.(0,1,0)，分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且，45.故平面PAB与平面PCD所成的角为45.答案：45 典例精析如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC90.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PAAC4，AB2.(1)求证：MN平面BD
6、E；(2)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长解由题意知，AB，AC，AP两两垂直，故以A为原点，分别以，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系依题意可得A(0，0,0)，B(2，0,0)，C(0,4,0)，P(0，0,4)，D(0,0,2)，E(0,2,2)，M(0，0,1)，N(1,2,0)(1)证明：(0,2,0)，(2,0，2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨取z1，可得n(1,0,1)又(1,2，1)，可得n0.因为MN平面BDE，所以MN平面BDE.(2)依题意，设AHh(0h4)，则H(0,0，h)，进而可得(
7、1，2，h)， (2,2,2)由已知，得|cos，|，整理得10h221h80，解得h或h.所以线段AH的长为或.解题技法用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值提醒注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角过关训练1.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA
8、1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A30B45C60D90解析：选C以B为坐标原点，以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系如图所示设ABBCAA12，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，(0，1，1)，(2,0,2)，2，cos，则EF和BC1所成的角是60，故选C.2.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACB
9、D.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又因为ACPAA，所以BD平面PAC.(2)设ACBDO.因为BAD60，PAAB2，所以BO1，AOCO.如图，以O为坐标原点，射线OB，OC分别为x轴，y轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，2)，A(0，0)，B(1,0,0)，C(0，0)，所以(1，2)，(0，2，0)设PB与AC所成角为，则cos .即PB与AC所成角的余弦值为. 典例精析(2019合肥一检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面ABCD，BFDE，M为棱AE的中点(1)求证：平面BDM平面EFC；(2)若D
10、E2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值解(1)证明：连接AC交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，又M为AE的中点，MNEC.MN平面EFC，EC平面EFC，MN平面EFC.BF，DE都与平面ABCD垂直，BFDE.BFDE，四边形BDEF为平行四边形，BDEF.BD平面EFC，EF平面EFC，BD平面EFC.又MNBDN，平面BDM平面EFC.(2)DE平面ABCD，四边形ABCD是正方形，DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设AB2，则DE4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A(2,0,0)，E(0,0,4)，(2,2,0)，(
11、1,0,2)，设平面BDM的法向量为n(x，y，z)，则得令x2，则y2，z1，从而n(2，2，1)为平面BDM的一个法向量(2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为，则sin |cos n，|，直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.解题技法利用向量求线面角的2种方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角 过关训练1在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_解析：建立如图所
12、示的空间直角坐标系Dxyz，由于AB2，BCAA11，所以A1(1,0,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，D1(0,0,1)，所以(1,2,0)，(1,0,1)，(0,2,0)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则有即令x2，得y1，z2，则n(2,1,2)设D1C1与平面A1BC1所成角为，则sin |cos，n|，即D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.答案：2.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC5，AC8，D为线段AC的中点(1)求证：BDA1D；(2)若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为，求AA1的长解：(1)证明：三棱柱ABCA1B1C1是直三
13、棱柱，AA1平面ABC，又BD平面ABC，BDAA1，BABC，D为AC的中点，BDAC，又ACAA1A，AC平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，BD平面ACC1A1，又A1D平面ACC1A1，BDA1D.(2)由(1)知BDAC，AA1平面ABC，以D为坐标原点，DB，DC所在直线分别为x轴，y轴，过点D且平行于AA1的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设AA1(0)，则A1(0，4，)，B(3,0,0)，C1(0,4，)，D(0,0,0)，(0，4，)，(0,4，)，(3,0,0)，设平面BC1D的法向量为n(x，y，z)，则即则x0，令z4，可得y，故n(0，4)为平
14、面BC1D的一个法向量设直线A1D与平面BC1D所成角为，则sin |cosn，|，解得2或8，即AA12或AA18. 典例精析如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF位置，OD.(1)证明：DH平面ABCD；(2)求二面角BDAC的余弦值解(1)证明：由四边形ABCD为菱形，得ACBD.由AECF，得，所以EFAC.因此EFDH，从而EFDH.由AB5，AC6，得DOBO4.由EFAC得，所以OH1，DHDH3，则OD2OH2DH2，所以DHOH.又OHEFH，所以DH平面ABCD.(2)以
15、H为坐标原点，HB，HF，HD分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Hxyz，如图所示则B(5,0,0)，C(1,3,0)，D(0,0,3)，A(1，3,0)，(由口诀“起点同”，我们先求出起点相同的3个向量)所以(4,3,0)， (1,3,3)，(0,6,0)(由口诀“棱排前”，我们用行列式求出两个平面的法向量)由可得平面ABD的法向量n1(3,4，5)，由可得平面ADC的法向量n2(3,0，1)于是cosn1，n2.所以二面角BDAC的余弦值为.解题技法(1)利用法向量求二面角的大小时，由于法向量的方向不同，两个法向量的夹角与二面角的大小可能相等，也可能互补所以，两个法向量的夹角的余弦值
16、与二面角的余弦值可能存在正负号的差异(2)有时用观察法难以判定二面角是钝角还是锐角，为了保证解题结果准确无误，我们给出一种万无一失的方法：就是在两个半平面和二面角的棱上各取1个向量，要求这三个向量必须起点相同，在利用行列式计算法向量时，棱对应的向量必须排前面，即口诀“起点同，棱排前”，这样求出的两个法向量的夹角一定与二面角的大小相等口诀记忆二面角，求余弦；起点同，棱排前过关训练如图所示，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，DABDCB，E为线段BD上的一点，且EBEDECBC，连接CE并延长交AD于F.(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD平面CGF；(2)若BC2，PA3，求二面角BCP
17、D的余弦值解：(1)证明：在BCD中，EBEDECBC，故BCD90，CBEBEC60.DABDCB，BADBCD90，ABECBE60，FEDBECABE60.ABEF，EFDBAD90，EFAD，AFFD.又PGGD，GFPA.又PA平面ABCD，GF平面ABCD，AD平面ABCD，GFAD.又GFEFF，AD平面CGF.又AD平面PAD，平面PAD平面CGF.(2)以A为坐标原点，射线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(3，0)，D(0,2，0)，P(0,0,3)，故(1，0)， (3，3)，(3，0)设平
18、面BCP的一个法向量为n1(1，y1，z1)，则即解得即n1.设平面DCP的一个法向量为n2(1，y2，z2)，则即解得即n2(1，2)所以cosn1，n2，由图知二面角BCPD为钝角，所以二面角BCPD的余弦值为. 一、题点全面练1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)，N(1,0,0)，(1，1，2)， (1,0，2)，B1M与D1N所成角的余弦值为.2如图，已知长方体ABCDA1
19、B1C1D1中，ADAA11，AB3，E为线段AB上一点，且AEAB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)，(0,3,1)， (1,1，1)， (0,3，1)设平面D1EC的法向量为n(x，y，z)，则即取y1，得n(2,1,3)cos，n，DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为.3在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，二面角BAA1C1的大小为60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面A
20、BB1A1的距离为2，则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为()A.B.C.D2解析：选A由题意可知，BAC60，点B到平面ACC1A1的距离为，点C到平面ABB1A1的距离为2，所以在三角形ABC中，AB2，AC4，BC2，ABC90，则()()4，|2，|4，cos，故tan，.4.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1，F(1
21、,0,1)，E，G(0,0,2)， (1,0，1)设平面GEF的法向量n(x，y，z)，则即取x1，则z1，y，故n为平面GEF的一个法向量，所以cosn，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.5在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，则即n1(1,2,2)又平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.即
22、平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.6如图，菱形ABCD中，ABC60，AC与BD相交于点O，AE平面ABCD，CFAE，AB2，CF3.若直线OF与平面BED所成的角为45，则AE_.解析：如图，以O为坐标原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系设AEa，则B(0，0)，D(0，0)，F(1,0,3)，E(1,0，a)，(1,0,3)，(0,2，0)， (1，a)设平面BED的法向量为n(x，y，z)，则即则y0，令z1，得xa，n(a,0,1)，cosn，.直线OF与平面BED所成角的大小为45，解得a2或a(舍去)，A
23、E2.答案：27.如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD，AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO2，AB2，E，F分别是AB，AP的中点，则二面角F OE A的余弦值为_解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由题知，OAOB2，则A(0，2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1，1,0)，F(0，1,1)， (1，1,0)，(0，1,1)，设平面OEF的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，可得m(1,1,1)易知平面OAE的一个法向量为n(0,0,1)，则cosm，n.由图知
24、二面角FOEA为锐角，所以二面角FOEA的余弦值为.答案：8(2018全国卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧C所在平面垂直，M是C上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值解：(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，所以BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.因为DM平面AMD，所以平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点， 的方向为x轴正方向，建
25、立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC的体积最大时，M为的中点由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，(2，1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n(1,0,2)，又是平面MCD的一个法向量，所以cosn，sinn，.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.9(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值解：(1)证
26、明：因为PAPCAC4，O为AC的中点，所以POAC，且PO2.连接OB，因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.所以POOB2PB2，所以POOB.又因为OBACO，所以PO平面ABC.(2)以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，(0,2,2)取平面PAC的一个法向量(2,0,0)设M(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)，由得令ya，得za，x(a4)，所以平面PAM的一个法向量为n
27、(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知可得|cos，n|cos 30，所以，解得a或a4(舍去)所以n.又(0,2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.二、专项培优练素养专练学会更学通1直观想象、数学运算如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBDO，A1O底面ABCD，AB2，AA13.(1)证明：平面A1CO平面BB1D1D；(2)若BAD60，求二面角BOB1C的余弦值解：(1)证明：A1O平面ABCD，BD平面ABCD，A1OBD.四边形ABCD是菱形，COBD.A1OCOO，BD平面A1CO.BD平面BB1D1D，平面A1CO平面BB
28、1D1D.(2)A1O平面ABCD，COBD，OB，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系AB2，AA13，BAD60，OBOD1，OAOC，OA1.则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)， (1，)设平面OBB1的法向量为n(x，y，z)，则即令y，得z1，n(0，1)是平面OBB1的一个法向量同理可求得平面OCB1的一个法向量m(，0，1)，cosn，m，由图可知二面角BOB1C是锐二面角，二面角BOB1C的余弦值为.2直观想象、数学运算如图，在四棱锥PA
29、BCD中，底面ABCD是直角梯形，ADC90，ABCD，AB2CD.平面PAD平面ABCD，PAPD，点E在PC上，DE平面PAC.(1)求证：PA平面PCD；(2)设AD2，若平面PBC与平面PAD所成的二面角为45，求DE的长解：(1)证明：由DE平面PAC，得DEPA，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDAD，所以CD平面PAD，所以CDPA，又CDDED，所以PA平面PCD.(2)取AD的中点O，连接PO，因为PAPD，所以POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PO平面ABCD，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由(
30、1)得PAPD，由AD2得PAPD，PO1，设CDa，则P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(a,1,0)，B(2a，1,0)，则(a,2,0)，(a,1，1)设m(x，y，z)为平面PBC的法向量，由得令x2，则ya，z3a，故m(2，a,3a)为平面PBC的一个法向量，由(1)知n(a,0,0)为平面PAD的一个法向量由|cosm，n|，解得a，即CD，所以在RtPCD中，PC，由等面积法可得DE.3直观想象，数学运算如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD2DB，CE2EB，PDAC.(1)求证：PD平面ABC；(
31、2)若直线PA与平面ABC所成的角为45，求平面PAC与平面PDE所成的锐二面角大小解：(1)证明：AC2，BC2，AB6，AC2BC2AB2，ACB90，cosABC.又易知BD2，CD222(2)2222cosABC8，CD2，又AD4，CD2AD2AC2，CDAB.平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，CD平面ABC，CD平面PAB，又PD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，直线PA与平面ABC所成的角为45，即PAD45，PDAD4，则A(0，4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，(2，2,0)，(2，4,0)，(0，4，4)AD2DB，CE2EB，DEAC，由(1)知ACBC，DEBC，又PD平面ABC，BC平面ABC，PDBC，PDDED，CB平面PDE，(2，2,0)为平面PDE的一个法向量设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得x，y1，n(，1,1)为平面PAC的一个法向量cosn，平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30.