1、第一节不等关系与一元二次不等式1两个实数比较大小的依据(1)ab0ab.(2)ab0ab.(3)ab0ab.2不等式的性质(1)对称性：abba；(2)传递性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方性：ab0 (nN，n2)3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实数根x1，x2(x1x2)有两相等实数根x1x2没有实数根一元二次不等式ax
2、2bxc0(a0)的解集x|xx1或xx2R一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法,(1)一元二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立(2)一元二次不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立熟记常用结论1倒数性质的几个必备结论(1)ab，ab0.(2)a0b.(3)ab0,0cd.(4)0axb或axb0.2两个重要不等式若ab0，m0，则(1)；(bm0)(2)；(bm0)小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)两个实数a，b之间，有且只有ab，ab，ab三种关系中的一种()(2)一个不等式的两边同
3、时加上或乘同一个数，不等号方向不变()(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(4)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(5)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、选填题1设A(x3)2，B(x2)(x4)，则A与B的大小关系为()AABBABCAB DAB解析：选B因为AB(x26x9)(x26x8)10，所以AB.故选B.2若ab0，则下列不等式不能成立的是()A. B.C|a|b| Da2b2解析：选A取a2，b1，则不成立3函数f(x)的定义域为()A0,3 B(0,3)C(，0
4、3，) D(，0)(3，)解析：选A要使函数f(x)有意义，则3xx20，即x23x0，解得0x3.4若集合Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，满足条件；当a0时，由题意知a0且a24a0，得0a4，所以0a4.答案：0,45若13，42，则|的取值范围是_解析：42，0|4，4| |0.3|3.答案：(3,3)考点一不等式的性质及应用基础自学过关 题组练透1若ab0，cd0，则一定有()A. B.C. D.解析：选B因为cd0，所以cd0，所以0.又ab0，所以，所以.故选B.2设a，bR，则“(ab)a20”是“ab”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条
5、件 D既不充分也不必要条件解析：选A(ab)a20，则必有ab0，即ab；而ab时，不能推出(ab)a20，如a0，b1，所以“(ab)a20”是“ab”的充分不必要条件3若a，b，则a_b(填“”或“”)解析：易知a，b都是正数，log891，所以ba.答案：4已知等比数列an中，a10，q0，前n项和为Sn，则与的大小关系为_解析：当q1时，3，5，所以.当q0且q1时，0，所以.综上可知.答案：5已知1x4,2y3，则xy的取值范围是_，3x2y的取值范围是_解析：1x4,2y3，3y2，4xy2.由1x4,2y3，得33x12,42y6，13x2y18.答案：(4,2)(1,18)名师
6、微点比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差变形判断差与0的大小得出结论(2)作商法，其步骤：作商变形判断商与1的大小得出结论(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小(4)赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论考点二一元二次不等式的解法师生共研过关 典例精析(1)解不等式：x22x30；(2)已知函数f(x)解不等式f(x)3；(3)解关于x的不等式ax222xax(a0)解(1)不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30.方程x22x30的解为x13，x21.而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1(2)由题意得或解得
7、x1.故原不等式的解集为x|x1(3)原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10，解得x1.当a0时，原不等式化为(x1)0.当1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a2时，不等式的解集为.解题技法1解一元二次不等式的一般步骤2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)对于ax2bxc0(0)的形式：当a0时，转化为一次不等式当a0时，转化为二次项系数为正的形式当a0时，直接求解(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，
8、讨论判别式与0的关系(3)确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式过关训练1不等式0x2x24的解集为_解析：原不等式等价于即即解得故原不等式的解集为x|2x1或2x3答案：2，1)(2,32求不等式12x2axa2(aR)的解集解：原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.考点三一元二次不等式的恒成立问题全析考法过关 考法全析考法(一)在R上的恒成立问题例1若不等式(a2)x22(a2)x
9、40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2B2,2C(2,2 D(，2)解析当a20，即a2时，不等式为40对一切xR恒成立当a2时，则即解得2a2.实数a的取值范围是(2,2答案C考法(二)在给定区间上的恒成立问题例2设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求实数m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即mx2mxm60在x1,3上恒成立有以下两种方法：法一：令g(x)mx2mxm6m2m6，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，所以m，所以0m；当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是
10、减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.综上所述，实数m的取值范围是.法二：因为x2x120，又因为mx2mxm60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以实数m的取值范围是.考法(三)给定参数范围求x的范围的恒成立问题例3若对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，所以解得x1或x3.故x的取值范围为(，1)(3，)规律探求看个性考法(一)是一元二次不等式在R上恒成立问题：解决此类问题常
11、利用一元二次不等式在R上恒成立的条件，注意如果不等式ax2bxc0恒成立，不要忽略a0时的情况考法(二)在给定区间上的恒成立问题求解方法：(1)若f(x)0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na. 考法(三)给定参数范围求x的范围的恒成立问题求解方法：解决此类问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以
12、参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解找共性对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.过关训练1若不等式x2mx10对于任意xm，m1都成立，则实数m的取值范围是_解析：由题意，得函数f(x)x2mx1在m，m1上的最大值小于0，又抛物线f(x)x2mx1开口向上，所以只需即解得m0.答案：2函数f(x)x2ax3.(1)当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；(
13、3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围解：(1)当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a120，解得6a2，实数a的取值范围是6,2(2)对于任意x2,2，f(x)0恒成立即x2ax3a0对任意x2,2恒成立，令g(x)x2ax3a.则有0或或解得6a2，解得a，解得7a6.综上可知，实数a的取值范围为7,2(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解得x3或x3.实数x的取值范围是(，33，) 一、题点全面练1已知a1(0,1)，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNBM NCMN D不确定解析：
14、选BMNa1a2(a1a21)a1a2a1a21(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210.(a11)(a21)0，即MN0，M N.2若m0，n0且mn0，则下列不等式中成立的是()Anmnm BnmmnCmnmn Dmnnm解析：选Dmn0mnnm，又由于m0n，故mnnm成立3若0，给出下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式的序号是()A BC D解析：选C因为0，故可取a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.4
15、已知函数f(x)x2axb2b1(aR，bR)，对任意实数x都有f(1x)f(1x)成立，若当x1,1时，f(x)0恒成立，则b的取值范围是()A(1,0) B(2，)C(，1)(2，) D不能确定解析：选C由f(1x)f(1x)知f(x)的图象关于直线x1对称，即1，解得a2.又因为f(x)的图象开口向下，所以当x1,1时，f(x)为增函数，所以f(x)minf(1)12b2b1b2b2，f(x)0恒成立，即b2b20恒成立，解得b1或b2.5已知aZ，关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是()A13 B18C21 D26解析：选C设f(x)
16、x26xa，其图象为开口向上，对称轴是x3的抛物线，如图所示若关于x的一元二次不等式x26xa0的解集中有且仅有3个整数，则即解得5a8，又aZ，故a6,7,8.则所有符合条件的a的值之和是67821.6若不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则k的取值范围为_解析：当k0时，显然成立；当k0时，即一元二次不等式2kx2kx0对一切实数x都成立，则解得3k0.综上，满足不等式2kx2kx0对一切实数x都成立的k的取值范围是(3,0答案：(3,07若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是_解析：由a280，知方程x2ax20恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2ax
17、20必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，解得a，故a的取值范围为.答案：8对于实数x，当且仅当nxn1(nN*)时，xn，则关于x的不等式4x236x450的解集为_解析：由4x236x450，得x，又当且仅当nxn1(nN*)时，xn，所以x2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为2,8)答案：2,8)9若不等式ax25x20的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax25xa210的解集解：(1)由题意知a0，且方程ax25x20的两个根为，2，代入解得a2.(2)由(1)知不等式为2x25x30，即2x25x30，解得3x，即不等式ax25xa
18、210的解集为.10已知函数f(x)x22ax1a，aR.(1)若a2，试求函数y(x0)的最小值；(2)对于任意的x0,2，不等式f(x)a成立，试求实数a的取值范围解：(1)依题意得yx4.因为x0，所以x2，当且仅当x时，即x1时，等号成立所以y2.所以当x1时，y的最小值为2.(2)因为f(x)ax22ax1，所以要使“x0,2，不等式f(x)a成立”，只要“x22ax10在0,2上恒成立”不妨设g(x)x22ax1，则只要g(x)0在0,2上恒成立即可所以即解得a.则实数a的取值范围为.二、专项培优练易错专练不丢怨枉分1不等式1的解集为()A. B(，1)C.(1，) D.解析：选A
19、原不等式等价于10，即0，整理得0，不等式等价于(2x1)(x1)0，解得x1.2若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2 Babb2Cab0 D|a|b|ab|解析：选D由题可知ba0，所以A、B、C正确，而|a|b|ab|ab|，故D错误3已知xyz，且xyz0，下列不等式中成立的是()Axyyz BxzyzCxyxz Dx|y|z|y|解析：选C因为xyz，所以3xxyz0,3zxyz0，所以x0，z0，由得xyxz.故选C.4若，满足则3的取值范围是_解析：设3x()y(2)(xy)(x2y).则解得因为1()1,22(2)6，两式相加，得13 7.所以3的取值范围为1,7答案：1,75求使不等式x2(a6)x93a0，|a|1恒成立的x的取值范围解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x3)ax26x90.令f(a)(x3)ax26x9，则1a1.因为f(a)0在|a|1时恒成立，所以若x3，则f(a)0，不符合题意，应舍去若x3，由一次函数的单调性，可得即解得x2或x4.则实数x的取值范围为(，2)(4，)
