1、第十章计数原理、概率、随机变量及其分布(理)第一讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理(理)知识梳理双基自测知识点一分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N_m1m2mn_种不同的方法知识点二分步乘法计数原理完成一件事需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_m1m2mn_种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用
2、其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互联系、相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法()(5)在分步乘法
3、计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()题组二走进教材2(P10练习T4)已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(C)A16B13C12D10解析将4个门编号为1,2,3,4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2,3,4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法3412(种)另解：A12(种)完成这件事需分成2个步骤进4种、出3种，共有43123(教材习题改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字，其和为偶数的不同取法种数为_6_；能排成的两位偶数的个数为_13_解析和为偶数的取法可分为两类：取两奇数或取两偶数，各有3种取
4、法，故共有6种取法；排成的两位偶数可分成三类：个位是0或2或4，显然个位为0的有5个，个位为2或4的各有4个，故共有13个题组三走向高考4(2020新课标)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有_36_种解析因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有CA36种5(2017天津)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_1_080_个(用数字作答)解析根据题意，分2种情况讨论：四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一个四位数即可，有A1
5、20种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有CC40种取法，将取出的4个数字全排列，有A 24种顺序，则有4024 960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有1209601 080个考点突破互动探究考点一分类加法计数原理自主练透例1 (1)(2020常州模拟)已知I1,2,3，A，B是集合I的两个非空子集，且A中所有元素的和大于B中所有元素的和，则集合A，B共有(D)A12对B15对C18对D20对(2)(2020山东济宁模拟)6人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘4人，则不同的
6、乘车方案数为(C)A70B60C50D40(3)(2021山东日照联考)要将甲、乙、丙、丁4名同学分别到A，B，C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为_12_(用数字作答)解析(1) 依题意，当A，B中均有一个元素时，有3对；当B中有一个元素，A中有两个元素时，有CCC8(对)；当B中有一个元素，A中有三个元素时，有3对；当B中有两个元素，A中有三个元素时，有3对；当A，B中均有两个元素时，有3对所以共有3833320(对)，选D(2)CCC50或CAC50故选C(3)由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到A，有6种；第二类，甲单独在A，则两人在B有C3种或两人
7、在C有C3种，共有6种，共12种名师点拨分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏考点二分步乘法计数原理师生共研例2 (1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(B)A24B18C12D9(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_12
8、0_种不同的报名方法解析(1)从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6318(条)，故选B(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)引申1本例(2)中若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解析每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36729(种)引申2本例(2)中若
9、将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解析每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63216(种)引申3本例(1)中若去掉“先到F处与小红会合”，则最短路径的条数为_35_解析C35(条)名师点拨(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成变式训
10、练1(1)(2021厦门模拟)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_36_种(用数字作答)(2)(2021湖南永州模拟)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有(B)A320种B360种C370种D390种解析(1)第一步，先选出文娱委员，因为甲、乙不能担任，所以从剩下的3人中选1人当文娱委员，有3种选法第二步，从剩下的4人中选学习委员和体育委员，又可分两步进行：先选学习委员有4种选法，再选体育委员有3种选法
11、由分步乘法计数原理可得，不同的选法共有34336(种)(2)第一步安排周五2名，有C15(种)方法；第二步安排周一至周四，有A24(种)方法，故不同的安排方法共有1524360种，故选B考点三,两个计数原理的综合应用多维探究角度1与数字有关的问题例3(2020天津和平区二模)在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有(D)A512B192C240D108解析能被5整除的四位数末位是0或5的数，因此分两类，第一类，末位为0时，其它三位从剩下的数中任意排3个即可，有A 60个，第二类，末位为5时，首位不能排0，则首位只能从1,2,3,4选1个，第二位和第三位从
12、剩下的4个数中任选2个即可，有AA 48个，根据分类计数原理得可以组成6048 108个不同的能被5整除的四位数，故选D引申(1)若将本例中“没有”改为“有”，则结果为_252_；(2)本例组成的四位数中偶数的个数为_156_个，其中比2 310大的四位偶数的个数为_109_个解析(1)CCCC360,360108252(2)个位为0时有A60个；个位非0时有CAC96个，故四位偶数有156个；其中比2 310大的数中前三位为231的有1个；前两位为23第三位为4或5的有3个；前一位为2第二位为4或5的有9个；前一位为4的有CA24个；前一位为3或5的各有CA36个，故共有109个角度2与涂色
13、有关的问题例4 将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有(B)A48种B72种C96种D108种解析如图四棱柱PABCD，涂P有4种方法涂A有3种方法涂B有2种方法涂C涂D，则不同的涂法共有432(1211)72种，故选B角度3与几何有关的问题例5 (2018上海)九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(D)A4B8C12D16解析根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意
14、，而C1，E1，C，D，E和D1一样，有248，当A1ACC为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有84416，故选D引申本例中若去掉“以AA1为底面矩形的一边”，则阳马的个数为_72_个以六棱柱的顶点为顶点的四棱锥有_300_个解析矩形在棱柱底面上的阳马有24个；矩形为棱柱侧面的阳马有24个；矩形为棱柱对角面的阳马有24个；故共有72个底面在棱柱底面上的四棱锥有2CC180个；底面四边形含两条侧棱的有CC120个；故共有300个名师点拨利用两个计数原理解决应用问题的一般思路1弄清完成一件事是做什么2确定是先分类后分步，还是先分步后分类3弄清分步、分类的标准是
15、什么4利用两个计数原理求解注意：(1)相同元素不加区分；(2)数字问题中0不能排在数的首位变式训练2(1)(角度2)(2021宁波模拟)如图所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为(C)A24种B48种C72种D96种(2)(角度1)(2020四川成都青羊区模拟)由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数，比2 019大的有()个(B)A10B11C12D13(3)(角度3)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个
16、数是(B)A60B48C36D24解析(1)区域ABECD涂法432(与A同色)12与A不同色11不同的涂色方法共有4321(21)72(种)，故选C(2)千位数字为3时满足题意的数字个数为：3！6千位数字为2时，只有2 013不满足题意，则满足题意的数字的个数为3！15，综上可得：比2 019大的有6511个(3)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6636，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6212，故符合条件的“平行线面组”的个数是361248名师讲坛素养提升巧用图表法、间接法求解计数问题例6 (1)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2
17、,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是_135_(2)(2021吉林模拟)一只蚂蚁从正四面体ABCD的顶点A出发，沿着正四面体ABCD的棱爬行，每秒爬一条棱，每次爬行的方向是随机的，则蚂蚁第1秒后到点B，第4秒后又回到A点的不同爬行路线有(B)A6条B7条C8条D9条(3)(2021济南模拟)如图，某电子器件由3个电阻串联而成，形成回路，其中有6个焊接点A、B、C、D、E、F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有_63_种解析(1)(图表法)两个小球放入编号相同的盒子中有C15种
18、方法，将剩余四个小球放入四个盒子，由图知共有9种方法，故符合题意的放法总数为159135注：结论：把编号为1、2、3、4的小球，放入编为1、2、3、4的小盒中号码不同的放法共有9种(2)根据已知，可作出下图，如图知，不同的爬行线路有7条，故选B(3)(间接法)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况，而只要有一个焊接点脱落，则电路就不通，故共有26163(种)可能情况名师点拨(1)当问题中涉及到的元素个数较少时，可通过图表将各种情况一一列出求解计数问题；(2)当要求计数的情况较复杂，而其反面情况简单易求时，可采用间接法求解即问题所有情况种数减去不合题意的情况种数变式训练3(1)(2021保定质检
19、)三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(B)A4种B6种C10种D16种(2)(2021江苏淮阴淮安中学测试)若把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为(C)A17B18C19D20解析(1)分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式由分类加法计数原理可知，共有336(种)传递方式(2)将5个字母排成一排，可分三步进行：第一步：排e，o，共有A20种排法；第二步：排三个r，共有C1种排法；将5个字母排成一排共有20120种排法，可能出现的错误写法的种数为20119种；故选C