1、第十三讲定积分与微积分基本定理(理)知识梳理双基自测知识点一定积分的运算1定积分的概念、几何意义和性质(1)定积分的定义及相关概念：定义：一般地，如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i1,2，n)，作和式f(i)x f(i)，当n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx.相关概念：在f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间_a，b_叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做_积分变量_，_f(x)dx_叫做被积式(2)其定
2、义体现求定积分的四个步骤：_分割_；_近似代替_；_取和_；_取极限_.(3)定积分的几何意义：f(x)f(x)dx的几何意义f(x)0表示由直线_xa_，_xb_，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线_xa_，_xb_，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a，b上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积(3)定积分的性质：kf(x)dx_kf(x)dx_(k为常数)f1(x)f2(x)dx_f1(x)dxf2(x)dx_._f(x)dx_f(x)dxf(x)dx(其中acb)2微积分基本定理一般地，如果f(x)
3、是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么f(x)dx_F(b)F(a)_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼茨公式知识点二定积分的应用1定积分与曲边梯形面积的关系：设阴影部分的面积为S.(1)Sf(x)dx.(2)S_f(x)dx_.(3)S_f(x)dxf(x)dx_.(4)Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.2定积分与变速直线运动的路程及变力做功之间的关系(1)作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)v(t)0在时间区间a，b上的定积分，即s.(2)如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从xa移动到xb
4、(ab)，那么变力F(x)所做的功W_F(x)dx_.两条常用结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零(2)函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有若f(x)为偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.若f(x)为奇函数，则f(x)dx0.题组一走出误区1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若函数yf(x)在区间a，b上连续，则f(x)dx()(2)若f(x)dx0，则由yf(x)，xa，xb以及x轴所围成的图形一定在x轴下方()(3)dxdtba(a，b为
5、常数，且a0)()解析对于(1)，因为定积分的值仅仅取决于被积函数与积分的上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，故(1)正确；对于(2)，因为积分小于0，未必图形一定在x轴下方，故(2)错误；对于(3)由于dxab，dtba，所以(3)错；对于(4)，由定积分的几何意义知，dx与都表示半径为1的圆的面积的，所以都等于，故(4)正确；只有当函数f(x)为偶函数时，才有f(x)dx，所以(5)错误题组二走进教材2(选修22P55BT2改编)若f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx(B)A2B2C0D1解析f(x)dxf(x)dxf(x)dx，f(x)dxf(x)dxf(x)dx112
6、.故选B3(选修22P55BT1改编)若ax2dx，bx3dx，c，则a，b，c的大小关系是(D)AacbBabcCcbaDcab解析由微积分基本定理得ax2dx，bx3dx4，csin xdx(cos x)1cos 22，则ca0)所围成的曲边图形的面积为，则k_2_.解析由得或则曲线yx2与直线ykx(k0)所围成的曲边梯形的面积为(kxx2)dxk3，即k38，所以k2.角度3定积分在物理中的应用例4 物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为(
7、C)A3B4C5D6解析因为物体A在t秒内行驶的路程为(3t21)dt，物体B在t秒内行驶的路程为10tdt，所以(3t2110t)dt(t3t5t2)t3t5t25，整理得(t5)(t21)0，解得t5.名师点拨(1)求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤为：画草图；求曲线的交点定出积分上、下限；确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；写出定积分并计算用微积分基本定理公式计算时，要认真、细致，按步骤来做，不要急于求成，以保证答案的准确性(2)根据平面图形的面积求参数的求解策略：先利用定积分求出平面图形的面积，再据条件构建方程(不等式)求解(3)做变速运动的物体经过的路程s，等于其速度函数vv
8、(t)(v0)在时间区间a，b上的定积分，也就是sv(t)dt.需根据题意写出函数vv(t)，确定时间区间，用定积分求解物体作变速直线运动的速度v，等于加速度函数aa(t)在时间区间a，b上的定积分a(t)dt.(4)如果力F(x)使得物体沿力的方向由xa运动到xb(ab)，那么力F(x)对物体所作的功WF(x)dx.变式训练1(1)(角度1)(2021宁夏银川质检)如图，阴影部分的面积是(D)A2B2CD(2)(角度2)(2020山东聊城地区联考)若定积分dx，则m等于(A)A1B0C1D2(3)(角度3)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方
9、向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_342_J(x的单位：m；力的单位：N)解析(1)由题意得S(3x22x)dx.(2)根据定积分的几何意义知，定积分dx的值，就是函数y的图象与x轴及直线x2，xm所围成图形的面积，y是一个半径为1的半圆，其面积等于，而dx，即在区间2，m上该函数图象应为个圆，于是得m1.故选A(3)变力F(x)x21使质点M沿x轴正向从x1运动到x10所做的功为WF(x)dx(x21)dx342(J)名师讲坛素养提升用变换积分变量法求平面图形面积例5 抛物线y24x与直线y2x4围成的平面图形的面积是_9_.解析解法一：(选x为积分变量)由得或画出草图如图所示选用x为积分变量，所求画积为2(2)dx(22x4)dx4x2xx24x(161)(164)9.解法二：选用y为积分变量，这时所求的面积为(y2y2)dy9.名师点拨通过本例可知选择合适的积分变量可简化运算变式训练2(2020天津市红桥区高三上学期期中)如图所示，由抛物线y2x和直线x1所围成的图形的面积等于(B)A1BCD解析选用y作积分变量 ，S(1y2)dy，故选B
