1、2016-2017学年浙江省温州市平阳二中高三（上）期中数学理试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1已知a，b是实数，则“a|b|”是“a2b2”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件2函数f（x）=2x的图象关于（）Ay轴对称B直线y=x对称C直线y=x对称D坐标原点对称3某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）ABCD4函数f（x）=（0），|）的部分图象如图所示，则f（）=（）A4B2C2D5x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或16设向量=（cos，sin），=（cos，
2、sin），其中0，若|2+|=|2|，则等于（）ABCD7如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD38已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x），且f（x）是偶函数，当x0，1时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9（6分）集合A=0，|x|，B=1，0，1，若AB，则AB=，AB=，BA=10（6分）已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：
3、x+（a1）y+a21=0，若l1l2，则a=，若l1l2，则l1与l2的距离为11（6分）若f（x）=，则f（f（1）=，f（f（x）1的解集为12（6分）设数列是公差为d的等差数列，若a3=2，a9=12，则d=；a12=13（4分）设抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y=2上，则此圆的半径为14（4分）设二次函数f（x）=ax24x+c（a0）的值域为0，+），且f（1）4，则的最大值是15（4分）各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为ACD内的动点（含边界），且GE平面ABD，若=1，则|=三、解答题：本大题
4、共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（15分）设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），xR（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，ABC的面积为，求的值17（14分）已知数列an的前n项和为Sn，若a1=1，且Sn=tan，其中nN*（1）求实数t的值和数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=log3a2n，求数列的前n项和Tn18（15分）如图，四棱锥PABCD中，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB与PAD都是等边三角形，平面ABCD平
5、面PBD（I）证明：CD平面PBD；（II）求二面角APDC的余弦值19（15分）已知椭圆C：+=1的左顶点为A（3，0），左焦点恰为圆x2+2x+y2+m=0（mR）的圆心M（）求椭圆C的方程；（）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q，若三点B，M，Q共线，求实数m的值20（15分）已知函数f（x）=xlnx+ax（aR）（）当a=0，求f（x）的最小值；（）若函数g（x）=f（x）+lnx在区间1，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（）过点P（1，3）恰好能作函数y=f（x）图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，求实数a的取值范围2016-2
6、017学年浙江省温州市平阳二中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（2015温州三模）已知a，b是实数，则“a|b|”是“a2b2”的（）A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】先判断pq与qp的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系【解答】解：“a|b|”能推出“a2b2”，但是当a=2，b=1时，由a2b2”推不出“a|b|”“a|b|”是“a2b2
7、”的充分不必要条件，故选：B【点评】此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，考查充要条件的有关定义2（2016秋平阳县校级期中）函数f（x）=2x的图象关于（）Ay轴对称B直线y=x对称C直线y=x对称D坐标原点对称【考点】奇偶函数图象的对称性【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据条件判断函数的奇偶性进行求解即可【解答】解：函数的定义域为（，0）（0，+），则f（x）=2x+=（2x）=f（x），则函数f（x）是奇函数，则函数f（x）=2x的图象关于坐标原点对称，故选：D【点评】本题主要考查函数图象的对称性问题，利用函数奇偶性的性质判断函数的奇偶性是解决本题的关键3（2016丽
8、水一模）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】几何体是一个简单组合体，是一个正方体里挖去一个圆锥，边长为1的正方体，底面半径为，高为1的圆锥，用正方体的体积减去圆锥的体积即可【解答】解：几何体是一个简单组合体，是一个正方体里挖去一个圆锥，V=13（）22=1故选D【点评】本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原直观图，考查正方体和圆锥的体积，本题是一个基础题，运算量比较小4（2012衡阳模拟）函数f（x）=（0），|）的部分图象如图所示，则f（）=（）A4B2C2D【考点】函数的图象与图象变化；函数的值【专题】函
9、数的性质及应用【分析】由图象的顶点坐标求出A，根据周期求得，再由sin2（）+=0以及 的范围求出 的值，从而得到函数的解析式，进而求得f（）的值【解答】解：由函数的图象可得A=2，根据半个周期=，解得=2由图象可得当x=时，函数无意义，即函数的分母等于零，即 sin2（）+=0再由|，可得 =，故函数f（x）=，f（）=4，故选A【点评】本小题主要考查函数与函数的图象，求函数的值，属于基础题5（2014安徽）x、y满足约束条件，若z=yax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A或1B2或C2或1D2或1【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，
10、利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）由z=yax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2xy+2=0平行，此时a=2，若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=yax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y2=0，平行，此时a=1，综上a=1或a=2，故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，
11、利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定义6（2015秋南昌校级期末）设向量=（cos，sin），=（cos，sin），其中0，若|2+|=|2|，则等于（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】利用数量积的定义及其运算性质可得，再根据余弦函数的单调性即可得出【解答】解：向量=（cos，sin），=（cos，sin），=1，同理可得=1=coscos+sinsin=cos（）|2+|=|2|，=，5+4=，=0，cos（）=0，0，0，则=故选：A【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质
12、、余弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题7（2015鄂州三模）如图所示，A，B，C是双曲线=1（a0，b0）上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且|BF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）ABCD3【考点】双曲线的简单性质【专题】压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】运用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，求得A的坐标，由对称得B的坐标，由于BFAC且|BF|=|CF|，求得C的坐标，代入双曲线方程，结合a，b，c的关系和离心率公式，化简整理成离心率e的方程，代入选项即可得到答案【解答】解：由题意可得在直角三角形ABF中，OF为斜边AB上的中线，即有|AB|=2
13、|OA|=2|OF|=2c，设A（m，n），则m2+n2=c2，又=1，解得m=，n=，即有A（，），B（，），又F（c，0），由于BFAC且|BF|=|CF|，可设C（x，y），即有=1，又（c+）2+（）2=（xc）2+y2，可得x=，y=，将C（，）代入双曲线方程，可得=1，化简可得（b2a2）=a3，由b2=c2a2，e=，可得（2e21）（e22）2=1，对照选项，代入检验可得e=成立故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系和离心率的求法，注意运用点在双曲线上满足方程，同时注意选择题的解法：代入检验，属于难题8（2013春红塔区校级期末）已知函数f
14、（x）满足f（x+1）=f（x），且f（x）是偶函数，当x0，1时，f（x）=x2，若在区间1，3内，函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，则实数k的取值范围是（）ABCD【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】函数的性质及应用【分析】根据f（x+1）=f（x），可得f（x）是周期为2的周期函数 再由f（x）是偶函数，当x0，1时，f（x）=x2，可得函数在1，3上的解析式根据题意可得函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，数形结合可得实数k的取值范围【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）=f（x），故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数再由f（x）是偶函
15、数，当x0，1时，f（x）=x2，可得当x1，0时，f（x）=x2，故当x1，1时，f（x）=x2，当x1，3时，f（x）=（x2）2由于函数g（x）=f（x）kxk有4个零点，故函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，如图所示：把点（3，1）代入y=kx+k，可得k=，数形结合可得实数k的取值范围是 （0，故选C【点评】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9（6分）（2015温州二模）集合A=0，|x|，B=1，0，1，若AB，则AB=0，1，A
16、B=1，0，1，BA=1【考点】交集及其运算；并集及其运算【专题】集合【分析】由A，B，以及A为B的子集确定出x的值，进而确定出A，求出A与B的交集，并集，以及A的补集即可【解答】解：A=0，|x|，B=1，0，1，且AB，|x|=1，即A=0，1，则AB=0，1，AB=1，0，1，BA=1故答案为：0，1；1，0，1；1【点评】此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10（6分）（2015金华一模）已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a1）y+a21=0，若l1l2，则a=，若l1l2，则l1与l2的距离为【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式
17、方程与直线的平行关系【专题】直线与圆【分析】利用两条直线平行与垂直的充要条件即可得出【解答】解：当a=1时不满足条件，当a1时，l1l2，=1，解得a=l1l2，解得a=2或1，a=2时两条直线重合，舍去a=1，两条直线分别化为：x2y6=0，x2y=0，l1与l2的距离为=故答案分别为：，【点评】本题考查了两条直线平行与垂直的充要条件、斜率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题11（6分）（2015宁波模拟）若f（x）=，则f（f（1）=，f（f（x）1的解集为【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】（1）先求f（1），再求f（f（1）即可；（2）由f（f（x）1先解出f（
18、x）的范围，再由f（x）的范围求x的范围即可【解答】解：（1）f（1）=（1）2=1，f（f（1）=f（1）=；（2）由f（f（x）1得，f（x）2或f（x）1（舍去）；由f（x）2得，2或；解得，x4或x；故f（f（x）1的解集为；故答案为：（1），（2）【点评】本题考查了分段函数的应用，属于基础题12（6分）（2015温州二模）设数列是公差为d的等差数列，若a3=2，a9=12，则d=；a12=20【考点】等差数列的性质【专题】等差数列与等比数列【分析】由数列是公差为d的等差数列，结合已知列式求得公差，再代入等差数列的通项公式求a12【解答】解：数列是公差为d的等差数列，且a3=2，a9=
19、12，则，即，解得：d=，即a12=20故答案为：；20【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题13（4分）（2016湖南校级模拟）设抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点（在第一象限内），若以PF为直径的圆的圆心在直线x+y=2上，则此圆的半径为1【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标，设出P的坐标，利用中点坐标公式求PF的中点，把中点坐标代入直线x+y=2求得P的坐标，再由两点间的距离公式求圆的半径【解答】解：如图，由抛物线y2=4x，得其焦点F（1，0），设P（）（y00），则PF的中点为（）=
20、（），由题意可知，点（）在直线x+y=2上，解得：y0=2P（1，2），则圆的半径为故答案为：1【点评】本题主要考查了抛物线的应用，平面解析式的基础知识考查了考生对基础知识的综合运用和知识迁移的能力，是中档题14（4分）（2014春通州区校级期末）设二次函数f（x）=ax24x+c（a0）的值域为0，+），且f（1）4，则的最大值是【考点】二次函数的性质【专题】计算题【分析】由题意可得a0 且=0，求出ac=4，再由0f（1）4，得4a+c8由函数y=t 在（0，+）上是增函数可得，对于函数u=，当a+c=8时，函数u有最大值为【解答】解：二次函数f（x）=ax24x+c的值域为0，+），a0
21、 且=0，ac=4又0f（1）4，即0a4+c4，所以4a+c8=由函数y=t 在（0，+）上是增函数可得，对于函数u=，当a+c=8时，函数u有最大值为故答案为 【点评】本利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等同时注意数形结合思想的运用是中档题15（4分）（2016绍兴校级模拟）各棱长都等于4的四面ABCD中，设G为BC的中点，E为ACD内的动点（含边界），且GE平面ABD，若=1，则|=【考点】平面向量数量积的运算【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用；空间位置关系与距离【分析】连接CE，并延长交AD于F
22、，连接BF，运用线面平行的性质定理可得EGBF，由G为BC的中点，可得E为CF的中点，设AF=t，再由向量的中点的向量表示，结合向量的数量积的性质，解得t=1，再由向量的模的公式，计算即可得到所求值【解答】解：连接CE，并延长交AD于F，连接BF，由EG平面ABD，EG平面BCF，平面BCF平面ABD=BF，可得EGBF，由G为BC的中点，可得E为CF的中点，设AF=t，则=（+）=（+），在四面体ABCD中，=44=8，=（+）（）=（+2）=（88+168）=1，解得t=1，即=（+），可得|2=（2+2+）=（16+16+8）=，可得|=故答案为：【点评】本题考查向量的模的求法，注意运用
23、中点的向量的表示，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查线面平行的性质定理的运用以及中位线定理的运用，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（15分）（2013湖北校级模拟）设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），xR（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f（A）=2，b=1，ABC的面积为，求的值【考点】余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦定理的应用【专题】计算题；综合题【分析】（1）利用向
24、量的数量积通过二倍角公式，两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求f（x）的最小正周期，借助正弦函数的单调减区间求出函数的单调递减区间；（2）通过f（A）=2，利用三角形的内角，求出A的值，利用ABC的面积为【解答】解：（1）（2分）令（4分）（2）由，0A，（6分），在ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA=3，8由，（10分）【点评】本题是中档题，通过向量数量积考查三角函数的化简求值，三角函数的单调性，正弦定理的应用三角形的面积公式的应用，考查计算能力，常考题型17（14分）（2016秋平阳县校级期中）已知数列an的前n项和为Sn，若a1=1，且Sn=tan，其中nN*（1
25、）求实数t的值和数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=log3a2n，求数列的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列【分析】（1）由当n=1时，a1=S1=ta1，由a1=1，即1=t，即可求得t的值，Sn=an，当n2时，Sn1=an1，an=SnSn1，整理得：an=3an1，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求得数列an的通项公式；（2）由（1）可知：bn=log3a2n=log332n1=2n1，=（），利用“裂项法”即可求得数列的前n项和Tn【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=ta1，由a1
26、=1，即1=t，解得：t=，Sn=an，当n2时，Sn1=an1，an=SnSn1=（an）（an1），即an=3an1，数列an是以1为首项，以3为公比的等比数列，an=a1qn1=3n1，当n=1时，an=3n1，成立，数列an的通项公式an=3n1；（2）由（1）可知：bn=log3a2n=log332n1=2n1，=（），数列的前n项和Tn，Tn=（1）+（）+（），=（1+），=（1），=，数列的前n项和Tn=【点评】本题考查等比数列通项公式，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查对数的运算性质，考查计算能力，属于中档题18（15分）（2016秋平阳县校级期中）如图，四棱锥PABCD中
27、，ABC=BAD=90，BC=2AD，PAB与PAD都是等边三角形，平面ABCD平面PBD（I）证明：CD平面PBD；（II）求二面角APDC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【专题】证明题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（I）取BC中点E，推导出四边形ABED为正方形，从而CDBD，由此能证明CD平面PBD（II）由（I）知CD平面PBD，从而CDPD取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，连结AF，得AFG为二面角APDC的平面角，由此能示出二面角APDC的余弦值【解答】证明：（I）取BC中点E，连结AE、BD，PAB和PCD都是等边三角形，A
28、D=AB，ABC=BAD=90，BC=2AD，四边形ABED为正方形，设AB=2，则BD=CD=2，BC=4，BD2+CD2=BC2，CDBD，平面ABCD平面PBD，平面ABCD平面PBD=BD，CD平面PBD解：（II）由（I）知CD平面PBD，又PD面PBD，CDPD取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，则FGCD，FGPD连结AF，由APD为等边三角形，得AFPDAFG为二面角APDC的平面角连结AG、EG，则EGPB又PBAE，EGAE，设AB=2，则AE=2，EG=1，AG=3，在AFG中，FG=，AF=，AG=3，cosAFG=二面角APDC的余弦值为【点评】本题考查线面垂直的
29、证明，考查二面角的余弦值的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（15分）（2015金华一模）已知椭圆C：+=1的左顶点为A（3，0），左焦点恰为圆x2+2x+y2+m=0（mR）的圆心M（）求椭圆C的方程；（）过点A且与圆M相切于点B的直线，交椭圆C于点P，P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q，若三点B，M，Q共线，求实数m的值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）圆M方程变形找出M坐标，确定出c的值，由顶点A坐标确定出a的值，进而求出b的值，即可确定出椭圆C的方程；（）设AP方程为x=ty3（t0），代入椭圆方程，消去
30、x表示出P的纵坐标，进而表示出横坐标，再表示出Q坐标，根据B，M，Q三点共线，得到MQ与AP垂直，即直线MQ与直线AP斜率乘积为1，求出t的值，确定出直线AP方程，进而求出m的值【解答】解：（）圆M方程变形得：（x+1）2+y2=1m，即M（1，0），c=1，顶点A（3，0），a=3，b2=a2c2=91=8，则椭圆C的方程为+=1；（）设AP方程为x=ty3（t0），代入椭圆方程得：（8t2+9）y248ty=0，解得：yA=0，yP=，xP=tyP3=，右焦点坐标为（1，0），PQ方程为x=y+1，代入椭圆方程得：y2+y64=0，yPyQ=，即yQ=，xQ=yQ+1=，由B，M，Q三点共
31、线，可得MQAP，即kMQkAP=1，=1，解得：t=，直线AP方程为x=y3，则圆心M到AP的距离为1，即圆半径为=1，则m=0【点评】此题考查了直线与圆锥曲线方程，以及椭圆的标准方程，熟练掌握椭圆的性质是解本题第一问的关键20（15分）（2016秋平阳县校级期中）已知函数f（x）=xlnx+ax（aR）（）当a=0，求f（x）的最小值；（）若函数g（x）=f（x）+lnx在区间1，+）上为增函数，求实数a的取值范围；（）过点P（1，3）恰好能作函数y=f（x）图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】综合题；导数的综合应用【分析
32、】（）求导函数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最小值；（）函数g（x）在区间1，+）上为增函数，可得当x1，+）时g（x）0，即在1，+）上恒成立，求出左边的最小值，即可求实数a的取值范围；（）求出函数y=f（x）在A，B处的切线方程，利用过点P（1，3），两切线的倾斜角互补，建立方程组，即可求实数a的取值范围【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+），（1分）当x（0，+）时，f（x），f（x）的变化的情况如下：xf（x）0+f（x）极小值（3分）f（x）的最小值是f（）=（4分）（）由题意得：函数g（x）在区间1，+）上为增函数，当x1，+）时g（x）0，即在1，+）上恒成立，（7
33、分），在1，+）上递增，（a+1）h（1）=1，a2（10分）（）设两切点A（x1，f（x1），B（x2，f（x2），f（x）=lnx+1+a则函数y=f（x）在A，B处的切线方程分别为y=（lnx1+1+a）（xx1）+x1lnx1+ax1=（lnx1+1+a）xx1，y=（lnx2+1+a）（xx2）+x2lnx2+ax2=（lnx2+1+a）xx2且lnx1+1+a+lnx2+1+a=0即也即即x1，x2是方程t26t+e2（a+1）=0的两个正根，=364e2（a+1）0，a1ln3（15分）【点评】本题考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查导数的几何意义，正确求导是关键
