1、四函数、不等式中的恒成立问题1(2017年广东揭阳二模)已知函数f(x)g(x)|A2|sin x(xR)，若对任意的x1，x2R，都有f(x1)g(x2)，则实数A的取值范围为()A. B.C. D.2(2016年河北衡水调研)设过曲线f(x)exx(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g(x)ax2cos x上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为()A1,2 B(1,2) C2,1 D(2,1)3(2014年辽宁)当x2,1时，不等式ax3x24x30恒成立，则实数a的取值范围是()A5，3 B.C6，2 D4，34设0a1，函数f(x)x，g(x)x
2、ln x，若对任意的x1，x21，e，都有f(x1)g(x2)成立，则实数a的取值范围是_5(2015年新课标)设函数f(x)e2xaln x.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)证明：当a0时，f(x)2aaln .6已知f(x)2axln x在x1与x处都取得极值(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)x22mxm，若对任意的x1，总存在x2，使得g(x1)f(x2)ln x2，求实数m的取值范围7已知函数f(x)ax2ln x(aR)(1)当a时，求f(x)在区间1，e上的最大值和最小值；(2)如果函数g(x)，f1(x)，f2(x)，在公共定义域D上，满足f1(x)g(
3、x)0成立，故函数f(x)单调递增，f(x)maxf(1)6，故a6；当x时，a恒成立，记f(x)，f(x)，当x2，1)时，f(x)0.故f(x)minf(1)2，故a2.综上所述，实数a的取值范围是6，24，1解析：f(x)1，当0a1，且x1，e时，f(x)0，f(x)在区间1，e上是增函数，f(x1)minf(1)1a2.又g(x)1(x0)，易求g(x)0，g(x)在区间1，e上是增函数，g(x2)maxg(e)e1.由条件知只需f(x1)ming(x2)max.即1a2e1.a2e2.即a1.5(1)解：f(x)的定义域为(0，)，f(x)2e2x(x0)当a0时，f(x)0，f(
4、x)没有零点；当a0时，设u(x)e2x，v(x)，因为u(x)e2x在区间(0，)内单调递增，v(x)在(0，)内单调递增，所以f(x)在(0，)内单调递增又f(a)0，当b满足0b且b时，f(b)0时，f(x)存在唯一零点(2)证明：由(1)，可设f(x)在区间(0，)内的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在区间(x0，)内单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)由于20，所以f(x0)2ax0aln 2aaln .故当a0时，f(x)2aaln .6解：(1)f(x)2axln x，f(x)2a.f(x)2axln
5、 x在x1与x处都取得极值，f(1)0，f0.解得ab.当ab时，f(x).函数f(x)在x1与x处都取得极值ab.(2)由(1)知，函数yf(x)ln xx在区间上单调递减，f(x)ln xminf(2).又函数g(x)x22mxm图象的对称轴是xm.当m时，g(x)ming，依题意有成立，m2时，g(x)ming(2)43m，43m.m.又m2，m.综上所述，m.7解：(1)当a时，f(x)x2ln x，f(x)x.对于x1，e，有f(x)0，f(x)在区间1，e上为增函数fmax(x)f(e)1，fmin(x)f(1).(2)在区间(1，)内，函数f(x)是f1(x)，f2(x)的“活动
6、函数”，则f1(x)f(x)f2(x)令p(x)f(x)f2(x)x22axln x0，对x(1，)恒成立，且h(x)f1(x)f(x)x22axa2ln x，令p(x)0，得极值点x11，x2，当x2x11，即a0，此时p(x)在区间(x2，)内是增函数，并且在该区间上有p(x)(p(x2)，)，不合题意；当x2x11，即a1时，同理可知，p(x)在区间(1，)内，有p(x)(p(1)，)，也不合题意；)若a，则有2a10，此时在区间(1，)内恒有p(x)0，从而p(x)在区间(1，)内是减函数. 要使p(x)0在此区间上恒成立，只需满足p(1)a0a，a.又h(x)x2a0，h(x)在区间
7、(1，)内为减函数，h(x)h(1)2a0，a.综上所述，实数a的范围是.8解：(1)由已知，有f(x)2x2ax2(a0)令f(x)0，解得x0，或x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)0所以f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(，0)，.当x0时，f(x)有极小值，且极小值f(0)0；当x时，f(x)有极大值，且极大值f.(2)由f(0)f0及(1)知，当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.设集合Af(x)|x(2，)，集合B.则“对于任意的x1(2，)，都存在x2(1，)，使得f(x1)f(x2)1”等价于AB.显然，0B.下面分三种情况讨论：当2，即0a时，由f0可知，0A，而0B，所以A不是B的子集当12，即a时，有f(2)0，且此时f(x)在区间(2，)内单调递减，故A(，f(2)，因而A(，0)；由f(1)0，有f(x)在区间(1，)内的取值范围包含(，0)，则(，0)B.所以AB.当1，即a时，有f(1)0，且此时f(x)在区间(1，)内单调递减，故B，A(，f(2)，所以A不是B的子集综上所述，实数a的取值范围是.