1、陕西省延安市黄陵中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1. 已知命题：，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，A分析：这是命题的否定，改量词，否结论即可解答：解：因为命题：，所以为，故选：A点拨：此题考查命题的否定，属于基础题2. 关于x的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. B分析：将不等式进行化简并进行因式分解可得，然后根据小于取中间可得结果.解答：不等式可化为，有，故不等式的解集为.故选：B点拨：本题考查一元二
2、次不等式的解法，重在计算，属基础题.3. 已知平面、的法向量分别为、且，则的值为（ ）A. B. C. D. A分析：利用两平面垂直，其法向量数量积为零列方程求解即可.解答：因为平面、的法向量分别为、且，所以，即，则，故选：A.4. 设直线方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件B分析：根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.解答：由，得：，则“”是“”的必要条件，而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.故选：B.5. 已知实数，满足不等式组，则的最小
3、值为（ ）A. 0B. C. D. D分析：先根据约束条件画出可行域，由，得，可知当直线在轴上的截距最小时，取得最小值，所以将直线向下平移过点时，取得最小值，求出点的坐标代入目标函数中可得答案解答：不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线，即直线，将此直线向下平移过点时，直线在轴上的截距最小，此时取得最小值，由，得，即，所以的最小值为，故选：D点拨：此题考查简单的线性规划的应用，考查数形结合的思想，属于基础题目.6. 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配（
4、古代数学中“以爵次分之”这种表述，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配）.”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则簪裹得（ ）A. 一鹿、三分鹿之一B. 一鹿C. 三分鹿之二D. 三分鹿之一B分析：由题意得在等差数列中，求出，由此能求出簪裹得一鹿解答：由题意得在等差数列中，解得，簪裹得一鹿故选：点拨：本题考查等差数列的某一项的求法，考查等差数列的性质等基本性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题7. 已知等比数列满足，则（ ）A. 64B. 81C. 128D. 243A试题分析：，考点：等比数列的通项公式8. 已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一焦点的距离为
5、（ ）A. 2B. 3C. 5D. 7B分析：根据椭圆的定义列方程，求得到另一个焦点的距离.解答：根据椭圆定义可知，到两个焦点的距离之和为，所以到另一个焦点的距离为.故选：B.点拨：本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.9. 若双曲线的一个焦点为，则（ ）.A. B. C. D. B分析：根据的关系计算可解解答：由双曲线性质：，故选：B10. 已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )A. B. C. D. B，焦点到渐近线的距离为，说明，则，双曲线的方程为故选:B11. 已知两点，点P满足，则点P的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. B分析：根据曲线方程
6、及平面向量的数量积运算，直接求轨迹方程详解】设，因为，所以，即，故选：B12. 已知椭圆的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为（ ）A B. C. D. B过点倾斜角为的直线方程为：，即，则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，整理可得：则：.本题选择B选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2a2c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)二、
7、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若抛物线的焦点坐标为，则实数的值为_.2分析：直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出的值解答：解：由抛物线方程得：焦点坐标，故答案为：2点拨：本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题14. 已知向量，若，则的值是_分析：由题得，解方程组即得解.解答：，存在实数k，使得，即，所以，解得故答案为：15. 若正实数满足，则的最小值为_.6；分析：由可得，再利用基本不等式可求出最小值解答：解：因为，所以，即，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为6故答案为：6点拨：此题考查基本不等式的应用，考查对数的运算性质，属于基础题16. 设分别是
8、椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为_15分析：利用椭圆的定义将左焦点问题转化为右焦点问题，然后求解最值即可.解答：由椭圆方程可得：，由椭圆的定义可得：，则的最大值为15.故答案为：15.点拨：本题主要考查椭圆的定义与几何性质，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 设命题p：实数x满足，命题q：实数x满足若为真，求实数x的取值范围分析：先利用一元二次不等式的解法化简两个命题，再根据若为真，则p，q同时为真求解.解答：由，则p：，由解得即q：若为真，
9、则p，q同时为真，即，解得，实数x的取值范围18. 已知是等比数列，是等差数列，（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.（1），（2）分析：（1）分别求出等差数列和等比数列的公差和公比，然后可得两数列的通项公式；（2）由（1）得到数列的通项公式，再根据分组求和法求解即可得到结果解答：（1）设等比的公比为，由，得，解得，所以；设等差的公差为，由，得，解得，所以（2）由（1）得所以所以数列的前项和点拨：（1）对于等差数列和等比数列的运算问题，可转化为其基本量即首项和公差（公比）来求解（2）求数列的和时，需要根据通项公式的特征选择相应的求解方法，对于形如（、分别为等差、等比数列）的数列来讲，
10、则采用分组求和法求解，借助等差（比）数列的求和公式可得结果19. 在中，求的值；若，求的面积（1）；（2）.分析：由，根据正弦定理可得，从而可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出，再根据诱导公式以及两角和正弦公式求出，利用三角形面积公式计算即可解答：（1），由正弦定理可得.（2）若，则，又由可得，点拨：本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式以及三角形的面积公式，属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆
11、半径.20. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，是棱上一点，且.(1) 求直线与所成角的余弦值；(2) 求二面角的余弦值（1）；（2）.分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CP所成角的余弦值；（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角APCD的余弦值解答：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），（a，b，c2）=（a，2b，c）=（，1，），解得a=0
12、，b=，c=，P（0，），=（1，0，0），=（1，），设直线AB与CP所成角为，cos=|cos|=，直线AB与CP所成角的余弦值为（2）=（1，），=（0，），=（0，），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取y=2，得=（4，2，1），设平面PCD法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设二面角APCD的平面角为，则cos=二面角APCD的余弦值为点拨：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间
13、位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21. 设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值（1）椭圆方程为，双曲线方程为；（2）.分析：（1）利用题设分别求椭圆和双曲线的基本量；（2）根据椭圆及双曲线的定义建立等式，可求出， 再用余弦定理即可.解答：（1）由已知得，设椭圆长、短半轴长分别为、，双曲线实半轴、虚半轴长分别为、，则解得所以故椭圆方程为，双曲线方程为（2）不妨设、分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则，所以又，故22. 已知点M到
14、点F（1，0）和直线x1的距离相等，记点M的轨迹为C（1）求轨迹C的方程；（2）过点F作相互垂直的两条直线l1、l2，曲线C与交于点P1、P2，与l2交于点Q1、Q2，试证明：（1）y24x；（2）证明见解析.分析：（1）利用点M到点F（1，0）和直线x1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，即可得出结论；（2）设l1的方程为yk（x1），代入抛物线方程，利用弦长公式求出|P1P2|，以代入，可得|Q1Q2|，代入可得结论解答：（1）点M到点F（1，0）和直线x1的距离相等，由抛物线的定义可知：点M的轨迹是抛物线，设方程为y22px（p0），1，p2轨迹C的方程为y24x（2）证明：设l1的方程为yk（x1），代入抛物线方程，整理可得k2x（2k2+4）x+k20，设P1、P2的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2，|P1P2|x1+x2+p，以代入，可得|Q1Q2|4+4k2，点拨：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题
