1、2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)三年高考真题与高考等值卷( 选修系列-坐标系与参数方程 )(文科数学)1.坐标系(1)理解坐标系的作用.(2)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(3)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.(4)能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.(5)了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区别.2.参数方程(
2、1)了解参数方程,了解参数的意义.(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.(3)了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.(4)了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1【2019年新课标3文科22】如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（，），C（，），D（2，），弧，所在圆的圆心分别是（1，0），（1，），（1，），曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标【解答】解：（1）由题设得，弧，所在圆的极坐
3、标方程分别为2cos，2sin，2cos，则M1的极坐标方程为2cos，（0），M2的极坐标方程为2sin，（），M3的极坐标方程为2cos，（），（2）设P（，），由题设及（1）值，若0，由2cos得cos，得，若，由2sin得sin，得或，若，由2cos得cos，得，综上P的极坐标为（，）或（，）或（，）或（，）2【2019年新课标2文科22】在极坐标系中，O为极点，点M（0，0）（00）在曲线C：4sin上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P（1）当0时，求0及l的极坐标方程；（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程【解答】解：（1）当0时，在直线l上任取
4、一点（，），则有，故l的极坐标方程为有；（2）设P（，），则在RtOAP中，有4cos，P在线段OM上，故P点轨迹的极坐标方程为4cos，3【2019年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cossin+110（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值【解答】解：（1）由（t为参数），得，两式平方相加，得（x1），C的直角坐标方程为（x1），由2cossin+110，得即直线l的直角坐标方程为得；（2）设与直线平行的直线方程为，联立，得16x2+4mx+m2120由16
5、m264（m212）0，得m4当m4时，直线与曲线C的切点到直线的距离最小，为4【2018年新课标2文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为直角坐标方程为：直线l的参数方程为（t为参数）转换为直角坐标方程为：xsinycos+2cossin0（2）把直线的参数方程（t为参数），代入椭圆的方程得到：1整理得：（4cos2+sin2）t2+（8cos+4sin）t80，则：，（由于t1和t2为A、
6、B对应的参数）由于（1，2）为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：8cos+4sin0，解得：tan2，即：直线l的斜率为25【2018年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|+2以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2+2cos30（1）求C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为2+2cos30转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x30，转换为标准式为：（x+1）2+y24（2）由于曲线C1的方程为yk|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）由于该
7、射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点所以：必有一直线相切，一直线相交则：圆心到直线ykx+2的距离等于半径2故：，或解得：k或0，当k0时，不符合条件，故舍去，同理解得：k或0经检验，直线与曲线C2没有公共点故C1的方程为：6【2018年新课标3文科22】在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为，（为参数），过点（0，）且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点（1）求的取值范围；（2）求AB中点P的轨迹的参数方程【解答】解：（1）O的参数方程为（为参数），O的普通方程为x2+y21，圆心为O（0，0），半径r1，当时，过点（0，）且倾斜角为的直线l的方程为x0，成立；当时，过点（0，）且倾斜角
8、为的直线l的方程为ytanx，倾斜角为的直线l与O交于A，B两点，圆心O（0，0）到直线l的距离d1，tan21，tan1或tan1，或，综上的取值范围是（，）（2）l的参数方程为，（t为参数，），设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则，且tA，tB满足，P（x，y）满足，AB中点P的轨迹的参数方程为：，（为参数，）7【2017年新课标2文科22】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos4（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2，），点
9、B在曲线C2上，求OAB面积的最大值【解答】解：（1）曲线C1的直角坐标方程为：x4，设P（x，y），M（4，y0），则，y0，|OM|OP|16，16，即（x2+y2）（1）16，x4+2x2y2+y416x2，即（x2+y2）216x2，两边开方得：x2+y24x，整理得：（x2）2+y24（x0），点P的轨迹C2的直角坐标方程：（x2）2+y24（x0）（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C2上，|OA|2，曲线C2的圆心（2，0）到弦OA的距离d，AOB的最大面积S|OA|（2）28【2017年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数），直线l的
10、参数方程为 ，（t为参数）（1）若a1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），化为标准方程是：y21；a1时，直线l的参数方程化为一般方程是：x+4y30；联立方程，解得或，所以椭圆C和直线l的交点为（3，0）和（，）（2）l的参数方程（t为参数）化为一般方程是：x+4ya40，椭圆C上的任一点P可以表示成P（3cos，sin），0，2），所以点P到直线l的距离d为：d，满足tan，且的d的最大值为当a40时，即a4时，|5sin（+）a4|5a4|5+a+4|17解得a8和26，a8符合题意当a40时，即a4时|5sin（
11、+）a4|5a4|5a4|17，解得a16和18，a16符合题意9【2017年新课标3文科22】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，（t为参数），直线l2的参数方程为，（m为参数）设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：（cos+sin）0，M为l3与C的交点，求M的极径【解答】解：（1）直线l1的参数方程为，（t为参数），消掉参数t得：直线l1的普通方程为：yk（x2）；又直线l2的参数方程为，（m为参数），同理可得，直线l2的普通方程为：x2+ky；联立，消去k得：x2y24，即C的普
12、通方程为x2y24（y0）；（2）l3的极坐标方程为（cos+sin）0，其普通方程为：x+y0，联立得：，2x2+y25l3与C的交点M的极径为方程的互化和几何意义的应用是考查的重点，解题时常用到参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用几何意义将原问题转化三角函数的问题，考查学生的数学逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆的极坐标方程；（2）设曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，求三条曲线，所围成图形的面积.【答案】（1）； （2
13、）.【解析】（1）由条件得圆的直角坐标方程为，得，将，代入，得，即，则，所以圆的极坐标方程为.（2）由条件知曲线和是过原点的两条射线，设和分别与圆交于异于点的点和，将代入圆的极坐标方程，得，所以；将代入圆的极坐标方程，得，所以.由（1）得圆的圆心为，其极坐标为，故射线经过圆心，所以，.所以，扇形的面积为,故三条曲线，所围成图形的面积为.2在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）（）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；（）若射线与有两个不同的交点、，求的取值范围【答案】（）（）【解析】解：（）曲线的直角坐标方程为，即，又，所以曲线的极坐标方程为（）联立射线与曲
14、线，得，设， ，又圆心的极坐标为，所以的取值范围是，所以，所以的取值范围为3选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数），点的坐标为（1）若点在曲线上运动，点在线段上运动，且，求动点的轨迹方程（2）设直线与曲线交于两点，求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）设， 则由，得， 即 消去，得，此即为点的轨迹方程. （2）曲线的普通方程为，直线的普通方程，设为直线的倾斜角，则，则直线的参数方程可设为（为参数）， 代入曲线的普通方程，得， 由于， 故可设点对应的参数为，则4在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，
15、轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求的直角坐标方程；（2）已知，与的交点为，求的值【答案】（1）；（2）20【解析】（1）由，得，即.（2）设，把代入，得，则是该方程的两个实数根，故5在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与轴交于点，与曲线交于两点，（1）求曲线的直角坐标方程；（2）求的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】解：（1）由2sin，得22sin，把2x2+y2，ysin代入，可得x2+y22y0曲线C的直角坐标方程为x2+y22y0；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，得t2+（2
16、cos2sin）t+10由（2cos2sin）240，得sin20，且t1+t22cos+2sin，t1t21 sin20即的取值范围是（2，66在直角坐标系中，圆的参数方程为 （为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）射线与圆的交点为，与直线的交点为，求的取值范围【答案】（1）圆的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.（2）【解析】（1）圆的普通方程是，将，代入上式：，化简得：，所以圆的极坐标方程为.直线的极坐标方程为，将，代人上式，得：，直线的直角坐标方程为.（2）设，因为点在圆上，则有，设，因为点在直线，则有，所
17、以，即，故的范围为.7选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为，（ 为参数）.直线与曲线分别交于、两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的直角坐标为，求的值.【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为，直线的普通方程为.(2) 【解析】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，由直线的参数方程得直线的普通方程为.（2）将直线的参数方程代入，化简并整理，得.因为直线与曲线分别交于、两点，所以，解得，由一元二次方程根与系数的关系，得，又因为，所以.因为点的直角坐标为，且在直线上，所以，解得，此时
18、满足，故.8曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.【答案】（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，可得曲线的直角坐标方程为，即，则曲线的极坐标方程为，即，又因为曲线的极坐标方程为，即，根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数，），把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，解得，把直线的参数方程代入曲线的
19、普通坐标方程得：，解得，即，当且仅当，即时去等号，故的最小值为.解法2：设直线的极坐标方程为），代入曲线的极坐标方程，得，把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，即，曲线的参，即，当且仅当，即时去等号，故的最小值为.9在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线向左平移2个单位，再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半（横坐标不变），得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）记射线与交于点，与交于点，求的值.【答案】（1）,；（2）.【解析】(1)曲线C的普通方程为：，经过变换后得到的方程为：，即的普通
20、方程为：.直线的极坐标方程为：，即：.(2)由(1)可求的极坐标方程为：，令解得：，即：，同理直线的极坐标方程中令有：， 故.10在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为，倾斜角为的直线经过点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.【答案】（1）,；（2）.【解析】（1）由可得，即.设点，则，即点，直线的参数方程为（为参数）（2）将直线的参数方程代入得，恒成立，设点对应的参数为，点对应的参数为，则，则.11选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以坐标原点为
21、极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求圆的极坐标方程；（2）已知射线，若与圆交于点（异于点），与直线交于点，求的最大值.【答案】（1）；（2）3【解析】（1）由圆的参数方程为消去参数，得到圆的普通方程为，即，所以其极坐标方程为，即；（2）由题意，将代入圆的极坐标方程得；将代入线的极坐标方程，得，所以，因为，所以，因此，当，即时，取得最大值3.12选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，求的值.【答案】（1）：，
22、：；（2）【解析】（1）由得，所以的极坐标方程为，由得，又因为，所以曲线的极坐标方程为.（2）将代入，可得，即，所以，由极坐标几何意义得.13在直角坐标系中，曲线的方程为，过点且斜率为的直线与曲线相切于点（1）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程和点的极坐标；（2）若点在曲线上，求面积的最大值【答案】(1) ；点的极坐标为或(2) 【解析】解（1）由得故曲线的极坐标方程为，即，如图：当与圆相切时，为等边三角形，点的极坐标为或（2）由于圆、点、点均关于轴对称，故不论点A在何处，都不会影响面积最大值的取得.不妨取，设，则，即时，面积取得最大值14在直角坐标系中，曲线
23、的参数方程为（为参数）在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的圆心为（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）过原点且与直线 （为参数，）平行的直线与的交点为，且的面积为2，求的值【答案】（1）是以为圆心，为半径的圆；极坐标方程为；（2）或【解析】（1）消去参数得到的普通方程为：是以为圆心，为半径的圆将，代入的普通方程中得到的极坐标方程为：（2）直线的极坐标方程为，与的交点分别为，得得：或15在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数，）以坐标原点 为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（l）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程：（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，且求直线 的方程【答案】(1)见解析(2) 【解析】（1）由消去参数t得（），由得曲线C的直角坐标方程为：（2）由得，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为，即，整理得，所以直线l的方程为：