1、实际问题与一元二次方程一、知识点列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：审题；设未知数；列一元二次方程；解一元二次方程；检验根是否有意义；作答（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.平均增长率（降低率）问题：公式：ba(1x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本100%；（期末必考一道大题）传播、比赛问题：面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数
2、根，则必须要根据题意检验根是否有意义.二、标准例题：例1：在一幅长，宽的硅藻泥风景画的四周，增添一宽度相同的装饰纹边，制成一幅客厅装饰画，使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的78%.设装饰纹边的宽度为，则可列方程为（）ABCD【答案】C【解析】解：设装饰纹边的宽度为xcm，则装饰画的长为（2002x）cm、宽为（1602x）cm，根据题意得：（2002x）（1602x）78%200160故选：C总结：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键例2：要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植
3、花草的面积为864m2,那么小道的宽度应是_m.【答案】2【解析】解：设小道的宽为x米，依题意得(40-2x)(26-x)=864，解之得x1=44（舍去）,x2=2.故答案为：2.总结：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m2找到正确的等量关系并列出方程.例3：某地2017年为做好“旧械改造工程”。投入资金万元用于拆迁安置，并规划投入资金按相同幅度逐年增加，预计到2019年年底投入资金比2017上基础上增加万元.（1）从2017年到2019年，该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2019年拆迁安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于万元用于优先搬
4、迁租房奖励，规定前户（含第户）每户每天奖励元，户以后每户每天奖励5元.按每户租房元计算，求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励.【答案】（1）从2015年到2017年，地投入异地安置资金的年平均增长率为；（2）2017年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励.【解析】解：（1）设该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为，根据题意得：，解得：，（含去）.答：从2015年到2017年，地投入异地安置资金的年平均增长率为.（2）设2017年该地有户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意得：解得：答：2017年该地至少有户享受到优先搬迁租房奖励例4：随着旅游旺季的到来，某旅行社为吸引市民组团取旅游，推出
5、了如下收费标准：某单位组织员工旅游，共支付给该旅行社费用元，请问该单位这次共有多少员工取旅游？【答案】单位这次共有名员工去旅游【解析】解：设该单位这次共有名员工去旅游旅游的员工人数一定超过人根据题意得整理得，解得当时，不合题意应舍去当时，符合题意答：该单位这次共有名员工去旅游.例5：已知:如图，在中，cm，cm.直线从点出发，以2 cm/s的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点.同时，点从点出发，以1cm/s的速度沿向点运动，设运动时间为(s) () .(1)当为何值时，四边形是矩形?(2)当面积是的面积的5倍时，求出的值;【答案】（1）；（2）。【解析】解：（1）在中，当时，四边形P
6、ECF是矩形，解得（2）由题意整理得，解得，面积是的面积的5倍。三、练习1某商场将每件进价为20元的玩具以30元的价格出售时，每天可售出300件.经调查当单价每涨l元时，每天少售出10件.若商场想每天获得3750元利润，设每件玩具涨元，可列方程为：.对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（）A表示涨价后玩具的单价B表示涨价后少售出玩具的数量C表示涨价后销售玩具的数量D表示涨价后的每件玩具的单价【答案】D【解析】解：设涨价x元，根据题意可得：A、（30x）表示涨价后玩具的单价，A选项正确；B、10x表示涨价后少售出玩具的数量，B选项正确；C、（30010x）表示涨价后销售玩具的数量，C选项正
7、确；D、（30x20）表示涨价后的每件玩具的利润，故D选项错误，故选：D2某水果种植基地年产量为吨，截止到年底，三年总产量达到吨，求三年中该基地水果产量的年平均增长率.设水果产量的年平均年增长率为，则可列方程为（）ABCD【答案】C【解析】已设这个百分数为x故选C3要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排天，每天安排场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为( )ABCD【答案】B【解析】赛程计划安排天，每天安排场比赛，共66=36场比赛，设比赛组织者应邀请x队参赛，2队之间只有1场比赛，可列方程为：x(x-1)=36.故选B.4如图
8、，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成_m【答案】2【解析】设通道的宽为x，将6块草坪平移为一个长方形，则它的长为(302x)m，宽为(20x)m，根据长方形面积公式列方程得到（302x）（20x）786，解得x2或33，因为通道的宽不能大于长方形的宽，所以x2，通道的宽为2m.故答案是2.5现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，该公司每月的投递总件
9、数的平均增长率为_【答案】10%【解析】解：设该公司每月的投递总件数的平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=12.1，解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）答：该公司每月的投递总件数的平均增长率为10%故答案为：10%6某中学组织初二学生开展篮球比赛，以班为单位单循环形式（每两班之间赛一场），现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设有x个班级参赛，根据题意，可列方程为_【答案】【解析】有x个班级参赛，根据题意，得=15，故答案为：=15.7今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不
10、高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？【答案】（1）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.【解析】（1）设与之间的函数关系式，把，代入得：，解得：，与之间的函数关系式；（2）根据题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）.答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.8如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个面积为50m2矩形场地，求矩形的宽BC【答案】5m【解析】解：设
11、矩形的宽BC=xm.则AB=(20-2x)m，根据题意得： x(20-2x)=50，解得：，答：矩形的宽为5m.9某地区年投入教育经费万元，年投入教育经费万元（1）求年至年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计年该地区将投入教育经费多少万元【答案】（1）10%；（2）3327.5万【解析】设增长率为x,根据题意2016年为2500(1+x)万元,2017年为2500(1+x) 万元。则2500(1+x) =3025，解得x=0.1=10%,或x=2.1(不合题意舍去).答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%.(2)3025(1+10%)=3327.5(万
12、元).故根据(1)所得的年平均增长率，预计2018年该地区将投入教育经费3327.5万.10某商场销售一批鞋子,平均每天可售出20双,每双盈利50元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取降价措施,调查发现,每双鞋子每降价1元,商场平均每天可多售出2双（1）若每双鞋子降价20元,商场平均每天可售出多少双鞋子？（2）若商场每天要盈利1750元,且让顾客尽可能多得实惠,每双鞋子应降价多少元？【答案】（1）60；（2）25【解析】解：（1）20202=60(双)；（2）设每双鞋子应降价a元,得(202a)(50a)=1750.解得, a1=15,a2=25,顾客要尽可能得到实惠,a1=15舍去. 答：
13、每双鞋子应降价25元.11如图,某小区在宽,长的矩形场地上修同样宽的三条人行道(阴影部分),余下的部分种花草.若种植花草的面积为,求道路的宽度.【答案】道路的宽1米【解析】设道路宽为x米，根据题意，得（20-x）（32-x）=589整理得：x2-52x+51=0解得x1=51（不合题意，舍去），x2=1答：道路宽为1米12涡阳某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“六-一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件.(1)若每件童装降价元，每天可售出 件，每件盈利 元(用含的代数式
14、表示)；每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元.【答案】(1)；(2)每件童装降价元时，平均每天盈利元.【解析】(1)若每件童装降价元，每天可售出(30+3x)件，每件盈利(100-60-x)元，故答案为：；由题意得：，化简得：，解得：，要让利顾客，取，答：每件童装降价元时，平均每天盈利元.13某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？（2）为推进环保袋的使
15、用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一经调査与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的管理费将会减少；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按
16、原方式共缴纳的管理费将减少，求a的值【答案】（1）该菜市场共有25个4平方米的摊位（2）a的值为50【解析】解：（1）设该菜市场共有x个4平方米的摊位，则有2x个2.5平方米的摊位，依题意，得：，解得：答：该菜市场共有25个4平方米的摊位（2）由（1）可知：5月份参加活动一的2.5平方米摊位的个数为（个），5月份参加活动一的4平方米摊位的个数为（个）依题意，得：，整理，得：，解得：（舍去），14如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为x米(1)用含x的式子
17、表示横向甬道的面积；(2)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239万元？【答案】(1)150x；(2)当甬道的宽度为2.5米时，所建花坛的总费用为239万元.【解析】(1)中间横道的面积= (120+180)x=150x，(2)甬道总面积为S=150x+160x2x2=310x2x2，绿化总面积为: = (120+180)80-S=12000S 花坛总费用:y=甬道总费用+绿化总费用=239239=5.7x+(12000S)0.0
18、2，239=5.7x0.02S+240，239=5.7x0.02(310x2x2)+240，239=0.04x20.5x+240，0.04x20.5x+1=0，4x250x+100=0，x1=2.5，x2=10甬道的宽不能超过6米，即x6，x=2.5，当x=2.5时，所建花坛的总费用为239万元当甬道的宽度为2.5米时，所建花坛的总费用为239万元15如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，几秒种后DPQ的面积为31cm2？【答案】运动1秒或5秒后DPQ的面积为31cm2【解
19、析】解：设运动x秒钟后DPQ的面积为31cm2，则AP=xcm，BP=（6-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（12-2x）cm，SDPQ=S矩形ABCD-SADP-SCDQ-SBPQ，=ABBC-ADAP-CDCQ-BPBQ，=612-12x-6（12-2x）-（6-x）2x，=x2-6x+36=31，解得：x1=1，x2=5答：运动1秒或5秒后DPQ的面积为31cm216在一块长，宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，且整体图案成轴对称图形.下面是小华、小芳与小明的设计方案.小华：小明：小芳请你根据以上的对话，完成下列问题.（1）你认为小华所设计的花园的形状是_，整个
20、设计图案共有_条对称轴.（2）请你帮助小芳计算出道路的宽度的值.（3）你认为小明的设计方案是否可行，若可以，请你在图3中画出符合条件的一种草图，然后求出该梯形的周长；若不可以，请你简要地说明理由.【答案】（1）菱形，2；（2）2；（3）见解析.【解析】（1）菱形，2.（2）依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）.（3）可行，草图如下：如图4，梯形的周长.如图5，梯形的周长.17如图，在边长为24cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟2cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟4cm的速度移动若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运
21、动，求：（1）经过6秒后，BP=cm，BQ=cm；（2）经过几秒BPQ的面积等于？（3）经过几秒后，BPQ是直角三角形？【答案】（1）12、24；（2）经过2秒BPQ的面积等于.（3）经过6秒或秒后，BPQ是直角三角形.【解析】（1）由题意，得AP=12cm，BQ=24cmABC是等边三角形，AB=BC=24cm，BP=224-12=12cm故答案为：12、24（2）设经过x秒BPQ的面积等于，作QDAB于D，则 BQ=4xcm.QDB=90，DQB=30，在RtDBQ中，由勾股定理，得解得；x1=10，x2=2，x=10时，4x24，故舍去x=2答：经过2秒BPQ的面积等于.（3）经过t秒后
22、，BPQ是直角三角形.ABC是等边三角形，AB=BC=24cm，A=B=C=60，当PQB=90时，BPQ=30，BP=2BQBP=24-2t，BQ=4t，24-2t=24t，解得t=；当QPB=90时，PQB=30，BQ=2PB，4t=2（24-2t）解得t=6经过6秒或秒后，BPQ是直角三角形.18如图1，某小区有一块长为米，宽为米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪.（1）求道路的面积（用含、的代数式表示）.（2）已知，并且四块草坪的面积之和为312米2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？（3）在（2）的条件下，为进一步美化小区，根
23、据实际情况，开发商决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）：条件：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行）菱形花圃，并且有两个花圃的面积之差为13米2；条件：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形.请你画出符合上述设计方案的一种草图，并求出该设计方案中每个菱形花圃的面积.【答案】（1）.（2）矩形的长为28米，宽为14米.（3）32.5【解析】解：（1）.（2）设米，则米，依题意得.整理得，解得，（舍去）.所以，.即矩形的长为28米，宽为14米.（3）答案不唯一，符合设计方案的一种草图如图2所示.如图2，可设第3、4个菱形花圃所在的矩形草坪的宽为米，则第1、2个菱形花圃所在的矩形草坪的宽为米，这些菱形花圃所在的矩形草坪的长都为（米），由，解得，大菱形花圃面积为（米2），小菱形花圃面积为（米2）.