1、22.3独立重复试验与二项分布内容标准学科素养1.理解n次独立重复试验的模型2.理解二项分布(重、难点).3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题.利用数学抽象提升数学建模和数学运算授课提示：对应学生用书第36页基础认识知识点一独立重复试验(1)观察下面的试验，分析它们有什么共同特点？重复抛掷质地均匀的硬币10次，观察是否出现正面向上重复抛一颗骰子10次观察是否出现1点姚明罚球一次命中的概率为0.8，他在练习罚球时，投篮4次恰好全部命中提示：每次试验是在同样的条件下重复进行的；各次试验中的事件是相互独立的；每次试验都只有两种结果，发生与不发生；每次试验某事件发生的概率是相同
2、的(2)投掷一枚图钉，设针尖向上的概率为p，则针尖向下的概率为q1p.连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是多少？出现2次针尖向上呢？3次呢？提示：连续掷一枚图钉3次，就是做3次独立重复试验用Ai(i1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，用B1表示事件“仅出现1次针尖向上”，则B1(A123)(1A23)(1 2A3)由于事件A12 3，1A23和1 2A3彼此互斥，由概率加法公式得P(B1)P(A12 3)P(1A23)P(1 2A3)q2pq2pq2p3q2p.因此，连续掷一枚图钉3次，仅出现1次针尖向上的概率是3q2p. 用B2表示事件“出现2次针尖向上”则P(B2)P(A
3、1A23)P(1A2A3)P(A12A3)p2qp2qp2q3p2q，P(B3)P(A1A2A3)p3.用Bk(k0,1,2,3)表示事件“连续掷一枚图钉3次，出现k次针尖向上”可以发现P(Bk)Cpkq3k(k0、1、2、3). 知识梳理1.独立重复实验的定义一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复实验2独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率一般地，如果在1次实验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.知识点二二项分布知识梳理一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A
4、发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率思考二项分布与两点分布有何关系？提示：两点分布是特殊的二项分布，即XB(n，p)中，当n1时，二项分布便是两点分布，也就是说二项分布是两点分布的一般形式自我检测1有以下试验：掷一枚质地均匀的硬币5次；某人连续投篮3次；袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，不放回地从中摸3次；袋中装有除颜色外其他都相同的3个红球，2个白球，有放回地摸3次其中为独立重复试验的是_(只填序号)答案：2将一枚质地均匀的硬币掷5次，恰好有3次正面朝上的概率为_答案：授课提示：对应
5、学生用书第37页探究一独立重复试验的判断阅读教材P58练习1生产一种产品共需5道工序，其中1至5道工序的生产合格率分别为96%,99%,98%,97%,96%.现从成品中任意抽取1件，抽到合格品的概率是多少？解析：各道工序都合格等价于产品是合格品，这5道工序是相互独立的因此抽到合格品的概率为PP1P2P3P4P596%99%98%97%96%0.867.例1判断下列试验是不是独立重复试验：(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球解析
6、(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验(2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验(3)每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验方法技巧独立重复试验的判断依据(1)要看该实验是不是在相同的条件下可以重复进行(2)每次试验相互独立，互不影响跟踪探究1.下列事件：运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”；在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标其中是独立重复试验的是()ABC D解析：
7、符合互斥事件的概念，是互斥事件；是相互独立事件；是独立重复试验答案：D探究二独立重复试验的概率阅读教材P57例4某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手在10次射击中，(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率(结果保留两个有效数字)题型：独立重复试验的概率方法步骤：(1)先确定该试验是独立重复试验；(2)由独立重复试验中概率的计算公式P(A)Cpk(1p)nk得出所求事件的概率例2某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率是0.5(相互独立)(1)求至少3人同时上网的概率；(2)至少几人同时上网的概率小于0.3.解析(1)至少3人同时上网的概率等于1减去至
8、多2人同时上网的概率，即p1C(0.5)6C(0.5)1(0.5)5C(0.5)2(0.5)4.(2)至少4人同时上网的概率为C(0.5)4(0.5)2C(0.5)5(0.5)1C(0.5)60.3.至少5人同时上网的概率为C(0.5)5(0.5)1C(0.5)60.3.至少5人同时上网的概率小于0.3.方法技巧解答独立重复试验中的概率问题要注意以下几点(1)先要判断问题中所涉及的试验是否为n次独立重复试验；(2)要注意分析所研究的事件的含义，并根据题意划分为若干个互斥事件的并集(3)要善于分析规律，恰当应用排列、组合数简化运算跟踪探究2.甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为
9、，没有平局(1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者为胜，甲获胜的概率是多少？(2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？解析：(1)甲第一、二局胜，或第二、三局胜，或第一、三局胜，则P2C.(2)甲前三局胜；或甲第四局胜，而前三局仅胜两局；或甲第五局胜，而前四局仅胜两局，则P3C2C22.探究三二项分布阅读教材P58练习2将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数X的分布列解析：由题意得XB(5，)P(X0)C()5，P(X1)C5，P(X2)C5，P(X3)C5，P(X4)C5，P(X5)C5.X的分布列为：X012345P例3已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植
10、物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率解析(1)由题意，得随机变量X可能取值为0,1,2,3，则XB.即P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C3.所以X的分布列为X0123P(2)第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为PC33.方法技巧1.当X服从二项分布时，应弄清XB(n，p)中的试验次数n与
11、成功概率p.2解决二项分布问题的两个关注点(1)对于公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次跟踪探究3.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列解析：由题意可知XB，所以P(Xk)Ck3k，k0,1,2,3.即P(X0)C03，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C3.所以X的分布
12、列为：X0123P授课提示：对应学生用书第38页课后小结(1)独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生(2)如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为Pn(k)Cpk(1p)nk.此概率公式恰为(1p)pn展开式的第k1项，故称该公式为二项分布公式素养培优二项分布与超几何分布的关系(1)从6名男生和4名女生中，随机选出3名学生参加一项竞技测试，试求选出的3名学生中女生人数的分布列解析：由题意得0,1,2,3.服从参数为N10，M4，n3的
13、超几何分布P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列为：0123P(2)甲、乙两人玩秒表游戏，按开始键，然后随机按暂停键，观察秒表最后一位数，若出现0,1,2,3则甲赢，若最后一位出现6,7,8,9则乙赢，若最后一位出现4,5是平局玩三次，记甲赢的次数为随机变量X，求X的分布列解析：由题意得X0,1,2,3.P(X0)C0.630.216，P(X1)C0.40.620.432，P(X2)C0.420.60.288，P(X3)C0.430.064.故X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064点评超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散分布，表面上看，两种
14、分布的概率求取有截然不同的表达式，但看它们的概率分布表，会发现构造上的相似点课本中对超几何分布的模型建立是这样的：若有N件产品，其中M件是废品，无放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从超几何分布的而对二项分布则使用比较容易理解的射击问题来建立模型若将超几何分布的概率模型改成：若有N件产品，其中M件是废品，有放回地任意抽取n件，则其中恰有的废品件数X是服从二项分布的在这里，两种分布的差别就在于“有”与“无”的差别，只要将概率模型中的“无”改为“有”，或将“有”改为“无”，就可以实现两种分布之间的转化超几何分布与二项分布是两个非常重要的概率模型，许多实际问题都可以利用这两个概率模型来求解在实际应用中，理解并辨别这两个概率模型是至关重要的下面通过例子说明一下两者的区别
