1、核心素养测评七 对数与对数函数(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是()(参考数据:lg 30.48)A.1033 B.1053 C.1073D.1093【解析】选D.设=x=,两边取对数,lg x=lg=lg 3361-lg 1080=361lg 3-8093.28,所以x=1093.28,即与最接近的是1093.2.设函数f(x)=loga|x|在(-,0)上单调递增,则下列说法正确的是()A.f(a+1)f(2)B.f(a+1)f(1)【解析】选
2、AD.因为f(x)=loga|x|在(-,0)上单调递增,所以0a1,所以1a+1f(1)且f(a+1)f(2).3. (2020宿迁模拟)已知3a=e,b=log35-log32,c=2ln,则a,b,c的大小关系为()A.acbB.bcaC.cabD.cba【解析】选C.由a=log3e1,b=log31,则cab.故选C.4.若函数y=a|x|(a0且a1)的值域为y|y1,则函数y=loga|x|的图象大致是()【解析】选B.由于y=a|x|的值域为y|y1,所以a1,则y=loga|x|在(0,+)上是增函数,又函数y=loga|x|的图象关于y轴对称.因此y=loga|x|的图象应
3、大致为选项B.5.(2020宁德模拟)已知函数f(x)=lg(|x|+1),记a=f(50.2),b=f(log0.23),c=f(1),则a,b,c的大小关系为 ()A.bcaB.abcC.cabD.cb50=1,0log0.2log0.20.2=1,所以0log0.2150.2,所以ff(1)f(50.2),所以bc0.所以x1或x1或x0且1+1,所以ln 0,所以f(x)的值域为.答案:x|x1或x-1【变式备选】函数f(x)=的定义域为_.【解析】由题意得解得0x,故函数f(x)的定义域为(0,.答案:(0,8.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),
4、则abc的取值范围是_.【解析】作出函数f(x)的大致图象如图.由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设0abc,则-lg a=lg b=-c+6.所以lg a+lg b=0,所以ab=1,所以abc=c.由图知10c0,且a1.(1)求f(x)的定义域.(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明.(3)当a1时,求使f(x)0的x的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),所以解得-1x1.故所求函数的定义域为x|-1x1.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为x|-1x1时,f(x)在定义域x|-1x0,得1,解得0x0且a
5、1).(1)求f(x)的定义域.(2)判断函数f(x)的单调性.【解析】(1)由ax-10,得ax1,当a1时,x0;当0a1时,x1时,f(x)的定义域为(0,+);当0a1时,设0x1x2,则1,故0-1-1,所以loga(-1)loga(-1).所以f(x1)1时,f(x)在(0,+)上是增函数.类似地,当0abc1,且aclogb clogc aB.logc blogb aloga c C.logb cloga blogc aD.logb alogc bloga c 【解析】选B.方法一:取a=5,b=4,c=3代入验证知选项B正确.方法二:对选项A,由abc1,从而loga blog
6、a a=1,logb clogc c=1,从而选项A错误;对选项B,首先logc blogc c=1,logb alogb b=1,loga c=0,从而logcblogb a,选项B正确;对于选项C,由loga blogc c=1,知C错误;对于选项D,由选项B可知logc blogb a,从而选项D错误.2.(5分) (2020徐州模拟)已知函数f(x)=ln x+ln(a-x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x)的值域为()A.(0,2)B.0,+)C.(-,2D.(-,0【解析】选D.因为函数f(x)=ln x+ln(a-x)的图象关于直线x=1对称,所以f(1-x)=f(1+x)
7、,即ln(1-x)+ln(a-1+x)=ln(1+x)+ln(a-1-x),所以(1-x)(a-1+x)=(1+x)(a-1-x),整理得(a-2)x=0恒成立,所以a=2,所以f(x)=ln x+ln(2-x),定义域为(0,2).又f(x)=lnx+ln(2-x)=ln(2x-x2),因为0x2时,0b1,若logab+logba=,ab=ba,则a=_,b=_.【解析】由于ab1,则logab(0,1),因为logab+logb a=,即logab+=,所以logab=或logab=2(舍去),所以=b,即a=b2,所以ab=(b2)b=b2b=ba,所以a=2b,b2=2b,所以b=2
8、(b=0舍去),a=4.答案:424.(10分)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a0,a1),且f(1)=2.(1)求a的值及f(x)的定义域.(2)求f(x)在区间上的最大值.【解析】(1)因为f(1)=2,所以loga4=2(a0,a1),所以a=2.由得-1x0且a1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,当x0,2时,t(x)的最小值为3-2a,当x0,2时,f(x)恒有意义,即当x0,2时,3-ax0恒成立.所以3-2a0.所以a0且a1,所以a的取值范围是(0,1).(2)t(x)=3-ax,因为a0,且a1,所以函数t(x)为减函数.因为f(x)在区间1,2上为减函数,所以y=logat为增函数,所以a1,x1,2时,t(x)最小值为3-2a,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),所以即故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间1,2上为减函数,并且最大值为1.
