1、第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.函数f(x)= -x的图象关于() A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案C易知f(x)= -x是奇函数,所以图象关于原点对称.2.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x0时, f(x)=2x+m,则f(-2)=()A.-3B.-C.D.3答案A因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.3.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x+1)=,若f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在2,3上是()A.增函数B.减函数C.先增
2、后减的函数D.先减后增的函数答案A由题意知f(x+2)= =f(x),所以f(x)是以2为周期的周期函数,又函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在0, 1上是增函数,所以f(x)在2,3上是增函数.4.设f(x)是定义在R上的周期为3的函数,当x-2,1时,f(x)=则f=()A.0B.1C.D.-1答案D因为f(x)是周期为3的周期函数,所以f=f=f=4-2=-1.5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则()A. f(-25)f(11)f(80)B. f(80)f(11)f(-25)C. f(11)
3、f(80)f(-25)D. f(-25)f(80) 0,f(x)在-2,0上也是增函数,且f(x)0,且f(x)为减函数.f(-25)=f(-1)0, f(80)=f(0)=0,f(-25)f(80)0时, f(x)=x2-x,则当x0时,函数f(x)的最大值为.答案解析设x0,所以f(-x)=x2+x,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-+,所以当x0,则x的取值范围是.答案(-1,3)解析f(2)=0, f(x-1)0,f(x-1)f(2),又f(x)是偶函数,且在0,+)上单调递减,f(|x-1|)f(2),|x-1|2,-2x-12,-1x0时, f(x)
4、=.(1)求当x0时, f(x)的解析式;(2)解不等式:f(x)-.解析(1)当x0,f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=-=.(2)f(x)0时,-,所以,所以3x-18,解得x2,所以x(0,2);当x0时,-,所以3-x32,所以x-2,所以原不等式的解集是(-,-2)(0,2).B组提升题组1.函数f(x)的定义域为R,且满足:f(x)是偶函数, f(x-1)是奇函数,若f(0.5)=9,则f(8.5)等于() A.-9B.9C.-3D.0答案Bf(x-1)是奇函数,f(-x-1)=-f(x-1),即f(-x)=-f(x-2).又f(x)是偶函数,f(x)=-f(x-2)=f(
5、x-4),故f(x)的最小正周期为4,f(8.5)=f(0.5)=9.故选B.2.(2019河南开封模拟)已知函数f(x)=如果对任意的nN*,定义fn(x)=(x),那么f2 016(2)的值为()A.0B.1C.2D.3答案Cf1(2)=f(2)=1, f2(2)=f(1)=0, f3(2)= f(0)=2,fn(2)的值具有周期性,且周期为3,f2 016(2)=f3672(2)=f3(2)=2,故选C.3.设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1x0时, f(x)=-x.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求函数f(x)在区间-1,2上的表达
6、式.解析(1)f(1+x)=f(1-x),f(-x)=f(2+x).又f(x+2)=f(x),f(-x)=f(x).又f(x)的定义域为R,f(x)为偶函数.(2)当x0,1时,-x-1,0,则f(x)=f(-x)=x;当1x2时,-1x-20,f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2.故f(x)=4.设函数f(x)是(-,+)上的奇函数, f(x+2)=-f(x),当0x1时, f(x)=x.(1)求f()的值;(2)当-4x4时,求函数f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.解析(1)由f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数且f(x+2)=-f(x),得f(x-1)+2)=-f(x-1)=f(-(x-1),即f(1+x)=f(1-x).所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又当0x1时, f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.当-4x4时,设f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为S,则S=4SOAB=4=4.