1、湖南省常德市2018-2019学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）时量：120分钟满分：150分一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若复数，则复数的共轭复数在复平面上所对应的点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先对复数化简，求出其共轭复数即可求出在复平面所对应的点.【详解】所以复数的共轭复数在复平面上所对应的点为，在第三象限.故选：C【点睛】此题考查复数的化简和共轭复数，复数的几何意义等知识点，属于简单题目.2. 一个年级有10个班级，每个班级学生从1到48号编排，为了交流学习经验.要求每班编号为28的同学留下进行
2、交流，这里运用的是（ ）A. 分层抽样B. 抽签法C. 系统抽样D. 随机数表法【答案】C【解析】【分析】根据抽样方法的概念判断【详解】相当于把10个班学生按序排好，编号，然后分成10组，每组48人，第一个选28号，然后间隔相同的抽取样本，这是系统抽样故选：C【点睛】本题考查系统抽样的概念，属于简单题掌握系统抽样的定义是解题基础3. 椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出、的值，结合椭圆的离心率公式可得结果.【详解】在椭圆中，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查根据椭圆方程直接求解椭圆的离心率，考查计算能力，属于基础题.4. 已知，且，则（ ）
3、A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正态分布曲线的对称性计算【详解】，所以故选：D【点睛】本题考查正态分布，掌握正态分布曲线的对称性是解题关键5. 任取实数则所取满足不等式的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出不等式的解集，再利用几何概型的概率公式计算即可.【详解】由不等式可得：，解得，所以任取实数则所取满足不等式的概率为，故选：C【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，几何概型的概率计算问题，属于中档题.6. 已知的展开式中含项的系数为12，则为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】求出二项展开式的通项，令x的幂指数等于
4、2求得r的值，即可根据项的系数列出方程求解a.【详解】展开式通项为，令，解得，故展开式中含项的系数为，解得.故选：B【点睛】本题考查二项式系数，属于基础题.7. 若一组数据的平均数为5，方差为2，则，的平均数和方差分别为（ ）A. 7，-1B. 7，1C. 7，2D. 7，8【答案】D【解析】【分析】根据平均数的性质,方差的性质直接运算可得结果.【详解】令,，（也可）故选：D【点睛】本题主要考查方差及平均值的性质的简单应用，属于中档题.8. 以下关于独立性检验的说法中，错误的是（ ）A. 独立性检验依据小概率原理B. 独立性检验得到的结论一定正确C. 样本不同，独立性检验的结论可能有差异D.
5、独立性检验不是判定两分类变量是否相关的唯一方法.【答案】B【解析】根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的故选B.9. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】时，可能为负数，这是无意义，不可能有，不充分，若，则，一定有成立，必要性满足，应为必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，掌握充分条件和必要条件的定义是解题关键10. 已知平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】A【
6、解析】【分析】根据点到平面的距离的向量公式直接计算即可.【详解】由题意，则，故选：A【点睛】本题主要考查了点到平面的距离，向量法求点到平面的距离，属于容易题.11. 设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）A. B. 2C. D. 1【答案】D【解析】【分析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，即得.【详解】设，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，的面积为.故选：D【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.12. 在正方体中，为的交点，则与所成角的余弦值为（ ）A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设正方体的棱长为2，以为轴，以
7、为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角余弦值【详解】设正方体的棱长为2，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，则，2，1，0，0，设与所成角为，则，故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题二、填空题（大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 命题“”的否定是_【答案】【解析】【分析】由含全称量词的命题的否定直接写出即可.【详解】根据命题的否定可知，“”的否定是“”故答案为：【点睛】本题主要考查了含全称量词命题的否定，属于容易题.14. 学校要从7名男生和3名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，若用随机变量
8、表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望_（结果用最简分数表示）【答案】【解析】【分析】的可能能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出数学期望E ().【详解】学校要从7名男生和3名女生中选出3人作为上海世博会志愿者，用随机变量表示选出的志愿者中女生的人数，则的可能能取值为0，1, 2, 3,，数学期望，故答案为：【点睛】本题主要考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.15. 小苏，小龙，小陈，小钟，小欧，小刘六个人从左至右排成一行合影留念，小苏不站最左端，小龙不站最右端，则不同的排法共有_种【答案】【解析】【分析】先全
9、排，除去小苏站最左端，小龙站最右端的情形，加上重复情形，问题得以解决。【详解】先全排，除去小苏站最左端，小龙站最右端的情形，加上重复情形，即为。故答案为：504【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生分析解决问题的能力，考查学会的计算能力，属于中档题。16. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，为坐标原点，则的面积为_【答案】【解析】【分析】先求解出直线方程，联立直线与抛物线消，利用韦达定理得到，求出，即可求解出.【详解】抛物线的焦点为，直线的方程为.联立直线与抛物线的方程，得，消元得.设，则，.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线中三角形面积求解.属于中档题.三、解答题（本大题共6小
10、题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 一个袋中装有大小形状相同标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数的分布列和数学期望【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）先求出一次拿到奇数的概率，可以先算反面拿2次得分为0分的概率，在求反面即可.(2)先写出的所有取值，在分别求出概率，即可求出期望.【详解】(1)一次拿到奇数的概率，所以拿2次得分为0分的概率为所以拿2次得分不小于1分的概率为（2
11、）可以取值：0，1，2，3，4所以分布列01234满足二项分布概率【点睛】此题考查二项分布概率，第一问可以考虑正难则反，第二问独立重复性事件用二项分布概率，属于较易题目.18. 湖南省某示范性高中图书馆志愿者协会中，有高一志愿者6人，其中含3名男生，3名女生；有高二志愿者4人，其中含1名男生，3名女生.现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两个年级中共抽取5名同学，到某著名高校图书馆参观学习.（1）求从高一年级抽取的同学中至少有1名女同学的概率；（2）记为抽取的5名同学中男同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）根据分
12、层抽样的定义按比例求出从高一高二志愿者中抽取的人数，再计算抽取方法后可得概率（2）从两个年级男女生人数和抽取的人数看的可能值为，依次求出各概率后得概率分布列，再由期望公式计算出期望【详解】（1）由分层抽样知从高一抽取人数为，从高二抽取的人数为532，高一从6人中抽取3人总方法为，至少有1名女生的方法数是，所求概率为；（2）由题意可能值为，的分布列如下：01234【点睛】本题考查分层抽样，考查古典概型，以及随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定随机变量的取值，然后根据取值分别求出概率19. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，E为PC的中点，F在PB上
13、且.（1）求证：PA平面EDB；（2）求证：PB平面EFD.（3）求二面角C-PB-D的大小【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用的中位线的性质证明即可推出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，由求出点F的坐标，再由，证明，即可推出线面垂直；（3）由（2）知是二面角C-PB-D的平面角，由已知求出、，即可求得，从而求得二面角的大小.【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接EO，因为底面ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE为的中位线，则,因为平面EBD，平面EBD，所以PA平面EDB；（2）因为PD底面ABCD，所以PDAD，PD
14、CD，因为底面ABCD是正方形，所以ADCD，所以PD，AD，CD两两垂直，所以以D为原点，以AD，CD，PD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设点，则，因为，所以，即，解得，则，,因为，所以，又,平面DEF，平面DEF，所以PB平面EFD；（3）由（2）知是二面角C-PB-D的平面角，因为，所以，因为，所以，,，因为，所以，则,又，所以，即二面角C-PB-D的大小为.【点睛】本题考查线面平行的证明、线面垂直的证明、求二面角的大小，考查了空间想象能力和计算能力，属于中档题题.20. 如图.在直棱柱ABC-A1B1C1中， BAC=90，AB=AC=，AA1=3，
15、D是BC的中点，点E在菱BB1上运动（1）证明：ADC1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60时，求三棱锥C1-A1B1E的体积【答案】（1）见解析（2）【解析】【详解】(1)证明:因为AB=AC,D是BC的中点,所以ADBC. 又在直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1平面ABC,而AD平面ABC,所以ADBB1. 由,得AD平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动,得C1E平面BB1C1C,所以ADC1E.(2)解:因为ACA1C1,所以A1C1E是异面直线AC,C1E所成的角.由题意知A1C1E=60.因为B1A1C1=BAC=90,所以A1C1A1B1.又AA1A1C1,从而A
16、1C1平面A1ABB1.于是A1C1A1E.故C1E=2.又B1C1=2,所以B1E=2.从而=A1C1=2=.21. 椭圆过点，离心率为，左右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的方程；（2）当的面积为时，求直线的方程【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆C的方程（2）由（1）知F1（-1，0），当l的倾斜角是时，,不合题意；当l的倾斜角不是时，设l的方程为，由消去y得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），由此利用韦达定理能求出直线l的方程【详解】（1）椭圆过点离心率为 又,解得椭圆C的方程.（2）由（1）知，当l的倾斜角是时，l的方程为
17、，交点，此时,不合题意；当l的倾斜角不是时，设l的斜率为k,则其直线方程为，由消去y得：，设，则， ， 又已知 ,解得， 故直线l的方程为，即或【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理和函数与方程思想的合理运用22. 已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线上（1）求此抛物线的方程（2）若直线yx3与此抛物线交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，求线段的中点M的坐标及梯形APQB的面积【答案】（1）；（2）；.【解析】【分析】（1）先求出焦点坐标，再写出抛物线方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，解得A，B两点横坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，根据梯形面积公式求结果.【详解】（1）因为抛物线的对称轴为x轴，焦点在直线上，所以焦点坐标为因为抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，所以抛物线方程为（2）将代入得，因此或所以梯形APQB的面积为【点睛】本题考查抛物线方程、抛物线定义、直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.